-
Mobility edge as one of the most important concepts in a disordered system in which there exists an energy dependent conductor-to-insulator transition has aroused great interest. Unlike an arbitrarily small disorder inducing the Anderson localization in one-dimensional random potential, the well-known Aubry-André model presents a metal-to-insulator transition without mobility edges. Some generalized Aubry-André models are proposed whose the mobility edges in compactly analytic forms are found. However, the existence of the many-body mobility edges in thermodynamic limit for an interacting disordered system is still an open question due to the dimension of the Hilbert space beyond the numerical capacity. In this paper, we demonstrate the existence of the mobility edges of bosonic pairs trapped in one dimensional quasi-periodical lattices subjected to strongly interactions. We believe that our theory will provide a new insight into the studying of the many-body mobility edges. Two strongly interacting bosons are trapped in an incommensurate model, which is described as $\hat H = - J\sum\limits_j{} {\left( {\hat c_j^\dagger {{\hat c}_{j + 1}} + {\rm{h}}{\rm{.c}}{\rm{.}}} \right)} + 2\lambda \sum\limits_j{} {\dfrac{{\cos \left( {2{\text{π}}\alpha j} \right)}}{{1 - b\cos \left( {2{\text{π}}\alpha j} \right)}}} {\hat n_j} + \dfrac{U}{2}\sum\limits_j{} {{{\hat n}_j}\left( {{{\hat n}_j} - 1} \right)} ,$ where there exists no interaction, the system displays mobility edges at$b\varepsilon = 2(J - \lambda )$ , which separates the extended regime from the localized one and b = 0 is the standard Aubry-André model. By applying the perturbation method to the third order in a strong interaction case, we can induce an effective Hamiltonian for bosonic pairs. In the small b case, the bosonic pairs present the mobility edges in a simple closed expression form$b\left( {\dfrac{{{E^2}}}{U} - E - \dfrac{4}{E}} \right) = - 4\left(\dfrac{1}{E} + \lambda \right)$ , which is the central result of the paper. In order to identify our results numerically, we define a normalized participation ratio (NPR)$\eta (E)$ to discriminate between the extended properties of the many-body eigenvectors and the localized ones. In the thermodynamic limit, the NPR tends to 0 for a localized state, while it is finite for an extended state. The numerical calculations finely coincide with the analytic results for b = 0 and small b cases. Especially, for the b = 0 case, the mobility edges of the bosonic pairs are described as$\lambda = - 1/E$ . The extended regime and the one with the mobility edges will vanish with the interaction U increasing to infinity. We also study the scaling of the NPR with system size in both extended and localized regimes. For the extended state the NPR$\eta (E) \propto 1/L$ tends to a finite value with the increase of L and$L \to \infty $ , while for the localized case,$\eta (E) \propto {(1/L)^2}$ tends to zero when$L \to \infty $ . The$b \to 1$ limit is also considered. As the modulated potential approaches to a singularity when$b \to 1$ , the analytic expression does not fit very well. However, the numerical results indicate that the mobility edges of bosonic pairs still exist. We will try to consider the detection of the mobility edges of the bosonic pairs in the future.-
Keywords:
- Anderson localization /
- mobility edges /
- disorder
[1] Anderson P W 1958 Phys. Rev. 109 1492
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期刊类型引用(30)
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百度学术2. 朱芸烽，邹林峰，顾杰，蒋景飞，张路. 稀疏复杂网络邻接拓扑的l_1–正则化辨识方法. 四川大学学报(自然科学版). 2025(01): 38-44 . 百度学术3. 吴其，杨田，孙昕，李斌. 复杂网络在电场中的应用现状. 黑龙江科学. 2024(24): 121-123+127 . 百度学术4. 韩光松. 基于复杂网络理论的体系关键节点评估. 军事运筹与评估. 2024(06): 5-9 . 百度学术5. 曾尖尖，鲍丽娟. 含时变切换的广义时滞反馈控制镇定多旋转周期轨线. 物理学报. 2023(08): 34-42 . 百度学术6. 张翠芝，安海岗. 基于复杂网络及其模体的京津冀及周边城市空气污染空间关联与城市协同治理. 环境监控与预警. 2023(04): 30-37 . 百度学术7. 杨杰，郭逸豪，郭创新，陈哲，王胜寒. 考虑模型与数据双重驱动的电力信息物理系统动态安全防护研究综述. 电力系统保护与控制. 2022(07): 176-187 . 百度学术8. 颜森林. 双星并联光纤激光同步网络研究. 中国激光. 2022(11): 123-132 . 百度学术9. 朱敬成，王伦文，吴涛. 一种基于局部特征的节点重要性排序方法. 计算机仿真. 2022(11): 416-421 . 百度学术10. 高正，邹艳丽，胡均万，姚高华，刘唐慧美. 基于复杂网络理论的电网耦合强度分配策略. 计算物理. 2022(05): 579-588 . 百度学术11. 颜森林. 激光局域网络的混沌控制及并行队列同步. 物理学报. 2021(08): 171-182 . 百度学术12. 韩伟，张峰，马伟东，刘超，宋闯. 基于节点重要度和风险因素的保护定值失配点校核研究. 电子器件. 2021(03): 677-683 . 百度学术13. 李慧. 融合拓扑势的有向社交网络关键节点识别模型. 小型微型计算机系统. 2021(07): 1492-1499 . 百度学术14. 张翠芝，董志良，安海岗，刘森，蒋培祥. 晶质石墨产品国际贸易网络演化特征研究. 中国矿业. 2021(08): 1-9 . 百度学术15. 朱敬成，刘辉，王伦文，吴涛. 基于网络拓扑重合度的关键节点识别方法. 计算机应用研究. 2021(12): 3581-3585 . 百度学术16. 汪小黎. 不确定性复杂网络节点相似性的数理统计模型构建. 电子设计工程. 2020(03): 89-92 . 百度学术17. 刘舒畅，王淑娟. 基于极大似然函数的独立分布网络拓扑结构可靠度评估模型. 科技通报. 2020(03): 80-83+89 . 百度学术18. 廖治东，郑国华. 考虑不同节点行为要素特征的供应链演化规律研究. 计算机应用研究. 2020(06): 1679-1682+1692 . 百度学术19. 栾鑫，程琳，李梦莹. 考虑成本约束和可靠性的检测器优化布设. 东南大学学报(自然科学版). 2020(03): 580-585 . 百度学术20. 梁耀洲，郭强，殷冉冉，杨剑楠，刘建国. 基于排名聚合的时序网络节点重要性研究. 电子科技大学学报. 2020(04): 519-523 . 百度学术21. 李献军，孙科学，张少芳，王月春. 关于复杂网络节点的加权融合感知分类算法. 计算机仿真. 2020(08): 224-227+270 . 百度学术22. 王超，郭基联，符凌云. 基于拓扑势的作战体系网络节点重要度评估方法. 兵工学报. 2020(08): 1658-1664 . 百度学术23. 邹艳丽，高正，梁明月，李志慧，何铭. 基于潮流追踪的电网同步性能优化及鲁棒性分析. 计算物理. 2020(05): 623-630 . 百度学术24. 丁连红，孙斌，时鹏. 知识图谱复杂网络特性的实证研究与分析. 物理学报. 2019(12): 324-338 . 百度学术25. 邹艳丽，王瑞瑞，吴凌杰，姚飞，汪洋. 基于局部序参数的电网同步性能优化. 计算物理. 2019(04): 498-504 . 百度学术26. 邵鹏，胡平. 复杂网络特殊用户对群体观点演化的影响. 电子科技大学学报. 2019(04): 604-612 . 百度学术27. 许新忠，王禹，苗甫. 基于生灭过程的域间路由系统相继故障模型. 计算机工程与应用. 2019(17): 125-130 . 百度学术28. 陆年生，严广乐. 用于复杂网络节点重要度评估的离心率算法改进研究. 软件导刊. 2019(11): 136-139 . 百度学术29. 潘永昊，于洪涛，吴翼腾. 基于复杂网络动力学模型的链路预测方法. 网络与信息安全学报. 2019(06): 67-74 . 百度学术30. 刘雁，饶元. 基于多领域复杂网络拓扑结构的节点重要度评价方法. 中国科学技术大学学报. 2019(07): 533-543 . 百度学术其他类型引用(53)
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图 1
$b = 0$ 时,${\rm{NPR}}$ 在不同的相互作用强度$U$ 下随无序强度$\lambda $ 和能量本征值E的变化 (a)$U = - 15$ ; (b)$U = - 20$ ; (c)$U = - 40$ ; (d)$U = - 100$ ; 蓝色的实线对应迁移率边的表达式; 这里取$L = 150$ Fig. 1. NPR varying with the disorder strengths
$\lambda $ and the energy eigenvalues E for$b = 0$ ,$L = 150$ and different U: (a) U = –15; (b) U = –20; (c) U = –40; (d) U = –100. The blue solid line represents the analytical expression of the mobility edges.
图 2 (a)
$b = 0,\;U = - 100,\;E = - 100.044$ 时,$\lambda $ 分别为$0.008$ 和$0.012$ 所对应本征态的密度分布; (b)$b = 0,\;U = - 100$ 时, 不同$\lambda $ 和$E$ 所对应的本征态的${\rm{NPR}}$ 随$1/L$ 的变化Fig. 2. (a) Density distributions for
$b = 0,\;U = - 100,\;E = - 100.044$ ,$\lambda = 0.008$ and$0.012$ , respectively ; (b) NPR varying with$1/L$ for$b = 0,U = - 100$ and different$\lambda $ and$E$ .
图 3 (a) NPR在
$L = 150$ 时随无序强度$\lambda $ 和能量本征值E的变化, 蓝色的实线对应迁移率边的表达式; (b)$\lambda =$ 0.048,$L = 150$ 时, 能量$E = - 20$ 和${\rm{ - }}20.37$ 所对应的密度分布; (c) 不同能量的NPR在$\lambda =0.048$ 时随$1/L$ 的变化. 这里我们选取$b = 0.2$ ,$U = - 20$ Fig. 3. (a) NPR varying with the disorder strength
$\lambda $ and the eigenvalues$E$ with$L = 150$ , the blue solid line represents the analytical expression of the mobility edges; (b) density distributions for$\lambda = 0.048,L = 150$ and different$E = - 20$ and$ - 20.37$ ; (c) scaling of the NPR with system size for$\lambda = 0.048$ and different energies. Here, we choose$b = 0.2$ and$U = - 20$ .
图 4 (a), (b) 分别为
$\lambda = 0.08$ ,$b = 0.5,0.96$ 时,$\left| {2\lambda \left( j \right)} \right|$ 与$\left| {4\lambda {{\left( j \right)}^2}{\rm{/}}U} \right|$ 在格点上的分布情况; (c), (d)${\rm{NPR}}$ 在$L = 150$ 时随无序强度$\lambda $ 和能量本征值$E$ 的变化, 其参数与(a), (b)相同; 蓝色的实线对应迁移率边的表达式Fig. 4. (a), (b)
$\left| {2\lambda (j)} \right|$ and$\left| {4\lambda {{(j)}^2}/U} \right|$ changing with different sites$j$ for$\lambda = 0.08,b = 0.5$ and$0.96$ , respectively; (c), (d) NPR varying with$\lambda $ and$E$ for$L = 150$ and with the same parameters as (a) and (b), respectively. The blue solid line represents the analytical expression of the mobility edges. -
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