1.   引　言

有螺旋波前和方位相关的相位${{\text{e}}^{{\text{i}}l\phi}}$的涡旋光束, 每个光子携带$l\hbar$的轨道角动量(orbital angular momentum, OAM)^[1], 其中整数$l$称为拓扑电荷(topological charge, TC), $\phi$是方位角, 它原则上可以构成无限维的Hilbert空间, 而自旋角动量(spin angular momentum, SAM)仅对应两个本征态, 即左旋圆极化和右旋圆极化. 到目前为止, 在经典光学和量子光学中, 基于光学涡旋的应用越来越多, 例如光通信^[2], 光学操纵^[3,4], 成像和显微镜^[5]以及量子信息处理^[6].

自光的OAM被发现^[1]以来, 许多光学元件可以将非OAM光转化为涡旋光束. 螺旋相位板(spiral phase plates, SPPs)是一种厚度随着方位角变化的透明薄板,

它在通过的光束上增加了一个随方位角变化的相位, 产生带有TCs的光学涡旋光束^[7,8]. 然而, 每一个制造好的SPP只能输出特定TC数的涡旋光束, 并且入射光束波长与设计波长之间的偏差会降低OAM模式的纯度^[9]. 在局部区域光轴具有不同方向的非均匀各向异性板称为$q$波片, 它能将圆偏振非OAM入射光束转化为旋向翻转圆偏振且TC为$\pm 2 q$的涡旋光束^[10], 其中$q$为$q$波片的阶次. 然而, 即使转换效率和工作波长可以控制, 由液晶制成的$q$波片也缺乏可重构性^[11,12]. 利用可编程空间光调制器(spatial light modulators, SLMs)可以更灵活地产生涡旋光束^[13]. 尽管具有确定局部光学相位的尺寸设计纳米块的超表面^[14,15]和内壁嵌入角光栅结构的环形回音壁模式(whispering-gallery-mode, WGM)微谐振器^[16]将光学涡旋发射器和激光器带入超紧凑领域, 但如何调节产生的涡旋光束的波长和TC仍然是一个有吸引力的研究课题.

动态涡旋光束的应用包括: 自由可调的波长和OAM模式使得波分复用(wavelength-division multiplexing, WDM)或时分复用(time-division multiplexing, TDM)与OAM模分复用(mode-division multiplexing, MDM)相结合成为可能, 可以显著提高光通信系统的信息容量^[17]. SPPs与法布里-珀罗滤光片^[18] 组合或使用各种光纤的不同矢量模式^[19,20]的组合可得到可调的波长和模式TC. 支持Hermite-Gaussian模式的可调激光器可通过外部转换器转换为OAM模式, 从而产生可调的模式TC^[21,22]. 最近, Zhang等^[23]报道了一种InGaAsP多量子阱平台上的非厄米特对称破缺WGM微环谐振器, 在该谐振器中, 实现了可控制的OAM模式开关. 此外, Ji等^[24]利用由二维材料WTe₂制成的光电流来实验检测接收到的光学涡旋光束的TC, 这表明利用电控可调涡旋光束源有望实现集成、可直接电读的OAM探测器.

综上所述, 动态涡旋光束的制备逐渐成为研究热点. 实验上有多种方法可以实现相位调制. Pockels效应描述了折射率随外加电场的线性变化, 常用于各种电光元件的设计^[25,26]. 本文提出利用Pockels效应实现部分相位调制产生涡旋光束的理论方案, 提出一种由电光晶体(本文以磷酸二氢钾[KDP]晶体为例)制成的薄平板, 通过可动态调节的外加电场来调制局部折射率, 随方位角调制入射光的相位, 最终将线偏振的非OAM光束转换为具有所需拓扑荷数的涡旋光束. 通过部分相位调制产生不同模式TC的涡旋光束, 可独立地控制施加在每个相位调制区域上的电场, 改变具有任意入射光波长的输出光学涡旋光束的模式TC.

2.   模　型

图1是SPP和平板的示意图, 通过外部电场调制平板的不同区域产生涡旋光束. 如图1(a)所示, 阶梯型SPP通过厚度调制入射光束的相位, 产生输出光的螺旋波前, 其模式TC由SPP各台阶间的厚度差决定. 然而, SPP一旦制造完成, 厚度差就无法进行调整. 除了改变在介质中的传播距离外, 控制折射率也会引起光相位的调制. 本文提出了基于部分相位调制产生涡旋光束的方案, 相位调制可以通过Pockels效应调制由电光晶体制成的平板的折射率来实现. 考虑实验上难以构造方位角变化且中心有奇点的连续电场, 我们在不同区域施加可以独立控制的静电场. 实验上, 可以在电光晶体平板的两侧添加透明导电材料 (如掺杂锡的氧化铟^[27]) 制成的独立可控微电极板阵列^[28]对入射的非OAM光束(如高斯光束)进行局部的相位调制, 如图1(b)所示.

作为说明性示例, 考虑平板由KDP晶体制成, 且晶体光轴沿垂直于入射面的$z$轴方向 (见图2). 由于Pockels效应, 可以通过控制电极板的电压来独立调整每个区域的局部折射率. 一般而言, 电光晶体的电光系数${r_{ij}}$可以表示为

$${r_{ij}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{r_{11}}}&{{r_{12}}}&{{r_{13}}} \\ {{r_{21}}}&{{r_{22}}}&{{r_{23}}} \\ {{r_{31}}}&{{r_{32}}}&{{r_{33}}} \\ {{r_{41}}}&{{r_{42}}}&{{r_{43}}} \\ {{r_{51}}}&{{r_{52}}}&{{r_{53}}} \\ {{r_{61}}}&{{r_{62}}}&{{r_{63}}} \end{array}} \right] .$$

(1)

对于KDP晶体来说, 其电光系数为

$${r_{ij}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0 \\ 0&0&0 \\ 0&0&0 \\ {{r_{41}}}&0&0 \\ 0&{{r_{41}}}&0 \\ 0&0&{{r_{63}}} \end{array}} \right] .$$

(2)

在适当条件下, 单轴晶体中圆偏振入射光的SAM和OAM之间可以相互转换和耦合^[30]. 本文方案中考虑入射光是无SAM的线偏振光, 考虑沿z轴传播的入射光为线偏振光, 其偏振沿$y$轴方向. 电极板阵列平行于入射面, 并在各个区域上施加沿$z$方向的电场. 这样, 沿$y$方向偏振的光其折射率${n_y}$与外加电场${E_z}$的大小之间的关系仅与${r_{63}}$有关, 即^[29]

$${n_y} = {n_{\text{o}}} + \frac{1}{2}n_{\text{o}}^{\text{3}}{r_{63}}{E_z} \text{, }$$

(3)

其中${n_{\text{o}}}$是没有外加电场时普通光的折射率.

光从板透射后, 调制区域和未调制区域之间的相位差${{\Delta }}\varphi$为

$${{\Delta }}\varphi = \varphi -{\varphi _0} = {k_0}{n_y}h-{k_0}{n_{\rm{o}}}h,$$

(4)

其中$\varphi$是调制区域的设计相位, ${\varphi _0}$是未调制区域的相位, ${k_0} = {{2{\text{π }}}/\lambda }$是波数, $\lambda$是入射光的波长, $h$是板的厚度. 因此, 调制区域的折射率应满足:

$${n_y} = \frac{{\varphi -{\varphi _0}}}{{{k_0}h}} + {n_{\text{o}}} .$$

(5)

把 (5) 式代入 (3) 式可以得到调制区域的相应电压为

$$U = {E_z}h = \frac{{2\left( {\varphi -{\varphi _0}} \right)}}{{n_{\text{o}}^{\text{3}}{r_{63}}{k_0}}} .$$

(6)

利用波长可调的激光器作为入射光源, 独立调节每个电极板的电压来调制入射光的每个局部区域相位, 从而产生波长和OAM可调的涡旋光束. OAM模式由每个调制区域和未调制区域之间的相对相位决定. 不失一般性, 我们假定${\varphi _0} = {{\text{π}}/4}$. 对于波长为$\lambda = 0.5461\;\mu {\rm{m}}$的入射光(绿光)来说, KDP晶体的典型参数为${n_{\text{o}}} = 1.514$和${r_{63}} = 10.5 \times {10^{{{ - }}12}}\;{\rm{m/V}}$, 电压$U = -3.747\;{\rm{kV}}$对应于$\varphi = 0$, $U = 26.23\;{\rm{kV}}$对应于$\varphi = 2{\text{π}}$. 本文所介绍的电压量级与(D)KDP晶体在其他研究领域所使用的电压量级相当^[31,32]. 采用具有较强非线性的电光晶体可以显著降低工作电压, 如铌酸锂(LiNbO₃)晶体, 该晶体已成功应用于峰值电压为10 V^[33]的电光梳频发生器.

为了解生成的光束的每个 OAM 模式的相对权重, 分析透射光的模式光谱. OAM模式(${A_l}\sim {{\text{e}}^{{{ - {\rm{i}}}}l\varphi }}$)相互正交, 即

$$\int {A_l^{}{A_{l'}}r{\text{d}}r{\text{d}}\varphi = 0} ,~~ 其中~~\; l \ne l' .$$

(7)

OAM模式在Hilbert空间中是完整的, 因此空间中的任何光束都可以由正交OAM模式基分解, 因此有

$$A\left( {r,\varphi ,z} \right) = \frac{1}{{\sqrt {2{\text{π }}} }}\sum\limits_{l = - \infty }^\infty {{a_l}\left( {r,z} \right){{\text{e}}^{{{ - {\rm{i}}}}l\varphi }}} ,$$

(8)

其中$A\left( {r, \varphi , z} \right)$是光场的复振幅. 叠加因子${a_l}\left( {r, z} \right)$满足:

$${a_l}\left( {r,z} \right) = \frac{1}{{\sqrt {2{\text{π }}} }}\int_0^{2{\text{π }}} {A\left( {r,\varphi ,z} \right){{\text{e}}^{{{ - {\rm{i}}}}l\varphi }}{\text{d}}\varphi . }$$

(9)

将${\left| {{a_l}\left( {r, z} \right)} \right|^2}$对$r$积分, 可定义:

$${C_l} = {\int_0^\infty {\left| {{a_l}(r,z)} \right|} ^2}r{\text{d}}r,$$

(10)

表示第$l$个模式的功率^[34]. 因此, 第$l$个模式的相对功率为

$${P_l} = {{{C_l}}}\Big/\bigg({{\displaystyle\sum\limits_{m = - \infty }^\infty {{C_m}} }} \bigg).$$

(11)

3.   仿真结果及模式谱分析

本节中每个施加了电场的区域的局部折射率可以被精确地调控, 用以实现透射光的部分相位调制. 本节以高斯光束作为入射光, 利用衍射理论模拟了透射光束在自由空间中的传播^[35].

图3为传输光束在自由空间中不同距离传播时的横向场分布. 第一列是用黑色圆圈表示入射光的调制区域. 在图3(a)中, 调整电极板阵列的电压值, 可以实现$2{\text{π }}$的相移, 构建出${\rm{TC}} = 1$的光束. 光的相位是通过改变折射率来进行调制的, 而折射率又是通过Pockels效应由外部电压进行控制. 令电压为零时的初始光相位为${{\text{π }} \mathord{\left/ {\vphantom {{\text{π }} 4}} \right. } 4}$, 对于KDP晶体而言, 通过 (6) 式可以计算得到零相位对应的初始电压值为$U = -3.747\;{\rm{kV}}$. 同样的道理, 其他的相位对应的电压值也可以通过 (6)式计算得出. 开始时, 光场横向分布图是“破碎”的. 随着光束的进一步传播, 横向光场在$z = 1\;{\rm{m}}$处重新组合形成具有涡旋特性的C形图案. 此外, 还发现该干涉图随着传播距离的增大, 形状保持不变, 趋于稳定, 且出现了一个螺旋尾, 这与${\rm{TC}} = 1$的涡旋光束与共同传播的高斯光束形成的干涉图相同^[15]. 注意到在输出光束中存在微小功率的碎片图案, 可将其归因于调制区域的不连续性. 相应在图4(a)中, $z = 0.5\;{\rm{m}}$时相位分布还比较杂乱, 到$z = 2.5\;{\rm{m}}$时, 中心区域显示出了较浅的螺旋尾. 该相位分布也说明此时同时存在${\rm{ TC}} = 0$和${\rm{TC}} = 1$两种光分量. 在图3(b)中反转相移, 用以构建${\rm{TC}} = -1$的光束. 相应的光场分布与图3(a)中的相似, 而光强分布稳定时的相位分布呈现出一个旋转方向相反的螺旋尾(图4(b)). 当构建$4{\text{π }}$相移时(图3(c)或图3(d)), 最开始的横向图案仍然是破碎的, 并逐渐形成具有两个螺旋尾的稳定的干涉图案, 此时相位分布也呈现出两个螺旋尾(图4(c)或图4(d)), 这表明输出光束由模式${\rm{TC}} = 0$和模式${\rm{TC }}= 2$(或${\rm{TC}} =-2$)叠加而成的. 此外还模拟了仅实现${\text{π }}$相移的情况(图3(e)). 有趣的是, 稳定的横向模也有一个螺旋尾, 相位分布的螺旋尾相较于图4(a)更不明显. 然而, 中心的实心光斑比$2{\text{π }}$相移情况下的要大些, 这表明: 此时非OAM模式的相对权重比较大.

挡住没有施加外部电场的区域, 只让调制区域的入射光从板透射出去. 不同相移的横向场分布如图5所示. 第1列显示了传输表面中的光场分布和相位调制方案. 实际上, 为了减少损耗, 可以将导线布置在被遮挡的区域上. 图5(a)显示了没有外加电场的情况, 相当于针孔衍射. 光在自由空间中传播, 中心会形成一个实心光斑, 类似于Airy斑, 从相位分布(图6(a))也可以看出此时的光束具有模式${\rm{TC }}= 0$. 在图5(b) (或图5(c))中, 构造了一个$2{\text{π }}$的相移. 复杂的横向场最终趋于稳定的环形, 此时出射光的相位(图6(b) 或 图6(c))携带模式${\rm{TC}} = 1$(或${\rm{ TC}} = -1$), 具有涡旋特性. 注意到, 稳定横向模的传播距离比图3的短. 构造一个$4{\text{π }}$的相移, 用以产生具有涡旋特性的模式${\rm{ TC}} = 2$(或${\rm{TC}} = -2$), 稳定的横向光场也显示出类似甜甜圈的形状, 此时的相位携带具有涡旋特性的模式${\rm{TC}} = 2$(或${\rm{ TC }}= -2$). “甜甜圈”的强度略显不均匀, 周围出现了4个相对较高功率的场. 可认为这是由于内部调制区域的数量仅为4个引起的, 这些区域的光学相位只有0和${\text{π }}$两个值. 想要产生携带更高模式TC的光学涡旋, 那么在方位角向上就需要更多的调制区域. 对于只产生一个${\text{π }}$相移的情况, 横向光场由一个实心光斑和一个C形碎裂光场共同构成, 相位分布图6(f) 沿角向方向有两块相位相近的区域. 在后面的OAM谱中可以看到, 此时的模式${\rm{TC}} = 0$和模式${\rm{TC}} = 1$的光分量几乎以相同的比例共同存在.

图7显示了在调制和未调制区域的入射光都可以从板透射时, 具有不同相位调制方案的输出光束, 当传播距离为$z = 1\;{\rm{m}}$时的OAM模式谱. 由于光功率主要集中在中心区域, 取以光斑中心为圆心, 半径为2 mm的圆形区域内的光计算OAM模式谱. 与图3中的第1行$2{\text{π }}$相移调制方案相同, 模式${\rm{ TC}} = 1$出现在图7(a)中. 同时也存在具有高相对权重的非OAM模式. 这是由于未调制区域携带非OAM模式的光也能从板透射出去引起的. 非OAM模式和涡旋模式的同时存在解释了图3中的类干涉模式. 增加调制区域可以使非OAM模式的相对权重降低, 如图7(f)所示. 对于${\text{π }}$相移调制方案, 同时会出现模式${\rm{ TC}} = 1$, 但相对权重低于图7(a)中的调制方案.

图8显示了只有调制区域的入射光可以从板透射出去, 具有不同相位调制方案的输出光束的OAM模式谱. 结果表明, 对于$2{\text{π }}$相移调制方案, 输出光束具有高纯度的OAM模式. 注意到对于$( \pm )4{\text{π }}$相移调制方案, ${\rm{TC}} = 2$(或${\rm{ TC}} = -2$)的模式具有较小的相对权重. 这可以解释在内部调制区域的光相位的$2{\text{π }}$周期中只会出现两个值. 仅实现半相周期时(图8(e)), 输出光束同时携带非OAM分量和模式${\rm{ TC}} = 1$的涡旋分量以及其他相对权重微小的分量. 本文方法与螺旋相位板的原理类似. 螺旋相位板的转换效率较高. 从图8(a)可以看出, 当遮挡住没有进行相位调制的部分时, 透射光基本都为拓扑荷为1的涡旋光束, 即透射光的模式纯度高. 因此, 采用部分相位调制方案时, 转换效率主要受限于光不能透过的面积, 即不能透过的面积越小, 则转换效率越高.

4.   结　论

综上所述, 采用一种由电光晶体制成的平板来产生涡旋光束. 根据波长, 输出光束的模式TC可由外部电场控制. 研究了当未调制区域的入射光通过或不通过板时的输出光束的横向光场分布. 类干涉图案表明当所有入射光通过板时, 输出光既包含OAM分量又包含非OAM分量. OAM模式的纯度可以通过遮挡未调制区域来提高. OAM模式谱与横向光场分布的性质是完全一致的. 这项工作有助于指导各种波长和OAM可调的光学涡旋激光器和发射器的研制.