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低差分模式群时延少模光纤的变分法分析及优化

王健 ,  吴重庆

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低差分模式群时延少模光纤的变分法分析及优化

王健, 吴重庆
物理学报, 2022, 71(9): 094206.
doi: 10.7498/aps.71.20212198

Analysis and optimization of few-mode fibers with low differential mode group delay by variational method

Wang Jian, Wu Chong-Qing
Acta Phys. Sin., 2022, 71(9): 094206.
doi: 10.7498/aps.71.20212198
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出版历程
  • 收稿日期:  2021-11-29
  • 修回日期:  2022-01-04
  • 上网日期:  2022-01-28
  • 刊出日期:  2022-05-05
物理学报. 2022, 71(9): 094206.
doi: 10.7498/aps.71.20212198.

低差分模式群时延少模光纤的变分法分析及优化

  • 北京交通大学, 发光与光信息技术教育部重点实验室, 光信息科学与技术研究所, 北京　100044
    • 通信作者: 王健, jwang@bjtu.edu.cn
    基金项目: 国家自然科学基金(批准号: 61775012)资助的课题
  • 收稿日期:  2021-11-29
  • 修回日期:  2022-01-04
  • 上网日期:  2022-01-28
  • 刊出日期:  2022-05-05

摘要: 基于少模光纤的模分复用技术可使传输容量增加数倍, 是目前光纤通信系统的研究热点. 当复用模式数量较多时, 模式之间的串扰可在接收端采用多输入多输出数字信号处理算法解决. 差分模式群时延(DMGD, $\tau_{\rm DMGD}$)越大, 算法复杂度越高, 为了降低接收机的复杂度需要使用低DMGD的少模光纤. 本文提出了使用变分法分析任意芯层折射率高于包层的少模光纤, 推导出了这类光纤中基模的模斑尺寸、各个模式归一化传播常数、相对于基模的DMGD的解析表达式, 以及它们与归一化频率和光纤制造参数的关系. 在此基础上, 以梯度型少模光纤为研究对象, 优化了光纤参数, 得到能够传输前6个LP模, 在C和L波段|$ \tau_{\rm DMGD} $|<15 ps/km的少模光纤的优化参数为: 最大芯层折射率与包层折射率之差n1 – n2 = 0.01, 纤芯半径a = 14 μm, 折射率分布指数α = 1.975. 最后讨论了光纤制造误差对DMGD的影响.

English Abstract

    全文HTML

    1.   引　言

    • 空分复用(spatial-division multiplexing, SDM)使单纤传输速率从太(T)比特级向拍(P)比特级跃进, 已成为通信研究的热点. 空分复用有模分复用(mode-division multiplexing, MDM)和多芯光纤(multi-core fiber, MCF)传输两个关键技术[1], 因此, 基于少模光纤(few-mode fiber, FMF)的MDM系统也受到了极大的关注[2-7].

      MDM系统在输入端可用一个多模式输入的矢量${{\boldsymbol{P}}_{{\text{in}}}}{\text{ = }}{\left[ {{p_1}, {p_2},\cdots, {p_n}} \right]^{\text{T}}}$描述, 式中$ {p_i} $表示第i个模式的相对强度; 在输出端也可以用一个多模式输出的矢量${{\boldsymbol{P}}_{{\text{out}}}}{\text{ = }}{\left[ {{{p'_1}}, {{p'_2}}, \cdots, {{p'_n}}} \right]^{\text{T}}}$描述, 因此MDM系统可视为一个多输入多输出(multi-input multi-output, MIMO)的系统, 可用n阶方阵$ {\boldsymbol{M}} $(称为传输矩阵)表示输出和输入之间的关系, 即${{\boldsymbol{P}}_{{\text{out}}}} = $$ {\boldsymbol{M}}{{\boldsymbol{P}}_{{\text{in}}}}$.

      当模间耦合较弱时, 传输矩阵$ {\boldsymbol{M}} $可视为一个对角矩阵, 不同模式之间的串扰能够忽略, 可以在接收端分别接收, 接收机比较简单[8,9]. 最初的MDM系统就采用了弱耦合的阶跃型折射率分布的FMF[4], 它的每个简并模式群作为一个传输通道. 然而, 弱耦合形式FMF中可用模式较少, 尽管研究人员通过改变光纤结构, 设计了各种弱耦合光纤[5-7], 但因其结构复杂, 制作困难, 与其他光纤连接时损耗较大等缺点, 较少获得应用.

      为了进一步增加复用模式的数量, 通常采用多层阶跃折射率分布[3,10]和渐变折射率分布[11-13]的光纤. 然而这时, 不可避免遇到模间耦合问题, 传输矩阵$ {\boldsymbol{M}} $不再是一个对角矩阵, 信道之间有明显的串扰. 为了消除串扰, 在接收端采用了多输入多输出数字信号处理的算法解决. 然而, 由于每个模式的群时延(或群速度)不相同, 导致信号到达接收端时, 不仅互相串扰, 而且在时域上互相分开(走离), 这导致信号处理算法复杂, 因此减小模式间的群时延差, 即差分模式群时延(differential mode group delay, DMGD)是降低接收机算法复杂程度的一个重要方法, 所以需要优化光纤参数, 获得一种DMGD最小的光纤[13-16].

      在优化MDM系统所用的FMF时, 不仅需要考虑DMGD尽可能小, 而且为了减小FMF的弯曲损耗, 常采用带凹槽的渐变折射率分布[17-23]. 为了同时满足低DMGD和减小微弯损耗的要求, 研究者提出了许多优化结构. 对这些优化结构的分析, 大多数都采用数值分析的有限元法[6,7,17,21,24-26]. 数值方法可以得到具体的结果, 但物理意义不如解析法清晰, 不能反映光纤的各个参数与DMGD的确定关系. 为此, 本文提出使用变分法分析任意芯层折射率高于包层的FMF[27,28], 推导出一般结构光纤的归一化传播常数的表达式, 以及DMGD与归一化传播常数、归一化频率等参数的关系, 并应用于梯度型折射率光纤, 得到具有低DMGD的梯度型的FMF. 考虑到DMGD对折射率分布敏感, 制作过程中的误差会使折射率分布偏离优化值, 从而使实际FMFs的DMGD明显增大, 最后讨论光纤制作过程中的误差对DMGD的影响.

    2.   理　论

      2.1.   模式场的场分布

    • 数学上, 泛函是以函数为自变量, 以数值为因变量的一种集合对应关系. 变分法是通过使泛函取极值, 而得到自变量函数的方法. 具体到光波导分析中, 自变量函数就是模式场的分布函数, 而因变量数值就是传播常数, 它们之间构成一种泛函, 泛函的具体表达式就是传播常数的积分表达式. 因此, 求这个泛函的极值, 即可得到模式场的场分布, 及相应的传播常数. 在已知泛函表达式的基础上, 自变量采用什么函数形式, 是求泛函极值的关键. 常用的方法是采用一个正交函数族的函数, 在这里可以是贝塞尔函数、拉盖尔-高斯函数等. 根据文献[27, 28], 对于任意一种芯层折射率高于包层的光纤, 只要满足弱导条件, 其LPlp模的模式场${e_{lp}}(r, \;\theta )$都可以用拉盖尔-高斯函数的形式表示, 即

      $ {e_{lp}}(r,\;\theta ) = \frac{1}{{\sqrt {\text{π }} s}}\sqrt {\frac{{\left( {p - 1} \right)!}}{{\left( {l + p - 1} \right)!}}} {{\text{e}}^{ - \tfrac{x}{2}}}{x^{\tfrac{l}{2}}}{\text{L}}_{p - 1}^l(x){{\text{e}}^{{\rm{i}}l\theta }}, $

      式中s是基模的模斑尺寸, 不同结构的光纤, 差别仅在于s的不同, 因此得到s即可得到此种光纤的模式场; $x = {\left( {r/s} \right)^2}$; ${\text{L}}_{p - 1}^l(x)$为拉盖尔多项式,

      $ {\text{L}}_{p - 1}^l(x) = \frac{{{{\text{e}}^x}{x^{ - l}}}}{{\left( {p - 1} \right)!}}\frac{{{{\text{d}}^{p - 1}}}}{{{\text{d}}{x^{p - 1}}}}({{\text{e}}^{ - x}}{x^{l + p - 1}}). $

      所以LPlp模的模式场又可以写为

      $ {e_{lp}}(r,\;\theta ) = \frac{1}{{\sqrt {\text{π }} s}}{E_{lp}}(x){{\text{e}}^{{\text{i}}l\theta }}, $

      式中${E_{lp}}(x)$是模式场随r变化的部分, 可写为

      $ \begin{split}{E_{lp}}(x) =\;&\sqrt {\frac{1}{{\left( {p - 1} \right)!\left( {l + p - 1} \right)!}}} {{\text{e}}^{\tfrac{x}{2}}}{x^{ - \tfrac{l}{2}}}\\ &\times\frac{{{{\text{d}}^{p - 1}}}}{{{\text{d}}{x^{p - 1}}}}({{\text{e}}^{ - x}}{x^{l + p - 1}}).\end{split} $

      根据(4)式, FMF的前9个LP模的${E_{lp}}(x)$的表达式分别为: ${E_{01}} = {{\text{e}}^{ - \tfrac{x}{2}}}$, ${E_{02}} = {{\text{e}}^{ - \tfrac{x}{2}}}( - x + 1)$, ${E_{03}} = \dfrac{1}{2}{{\text{e}}^{ - \tfrac{x}{2}}}({x^2} - 4 x + 2)$, ${E_{11}} = {{\text{e}}^{ - \tfrac{x}{2}}}{x^{\tfrac{1}{2}}}$, ${E_{12}} = $$ - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}{{\text{e}}^{ - \tfrac{x}{2}}}{x^{\tfrac{1}{2}}}(x - 2)$, ${E_{21}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}{{\text{e}}^{ - \tfrac{x}{2}}}x$, ${E_{22}} = - \dfrac{{\sqrt 6 }}{6} \times $$ {{\text{e}}^{ - \tfrac{x}{2}}}x(x - 3)$, ${E_{31}} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}{{\text{e}}^{ - \tfrac{x}{2}}}{x^{\tfrac{3}{2}}}$, ${E_{41}} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{{12}}{{\text{e}}^{ - \tfrac{x}{2}}}{x^2}$.

      另外, 可以把(3)式中模式场${e_{lp}}(r, \;\theta )$随$\theta $的变化看成两个简并模式场的叠加, 两者分别随$\cos (l\theta )$和$\sin (l\theta )$变化, 即:

      $ {e_{lp}}(r,\;\theta ) = \frac{1}{{\sqrt {\text{π }} s}}{E_{lp}}(x)\cos (l\theta ) $

      和

      $ {e_{lp}}(r,\;\theta ) = \frac{1}{{\sqrt {\text{π }} s}}{E_{lp}}(x)\sin (l\theta ). $

      • 2.2.   归一化传播常数的计算

    • 根据模式场的亥姆霍兹方程, LPlp模传播常数$ {\beta _{lp}} $的积分表达式(泛函)可写为[27,28]

      $\begin{split} &\beta _{lp}^2 = \\ &\frac{{\displaystyle\int_0^{ + \infty } {\left( {{k^2}{n^2}(r) - {l^2}/{r^2}} \right)} E_{lp}^2r{\text{d}}r - \int_0^{ + \infty } {{{\left( {{\text{d}}{E_{lp}}/{\text{d}}r} \right)}^2}} r{\text{d}}r}}{{\displaystyle\int_0^{ + \infty } {E_{lp}^2r{\text{d}}r} }}\text{, } \end{split}$

      式中, $k$为真空中的波数, $n(r)$为光纤的折射率分布. 利用关系式$x = {\left( {r/s} \right)^2}$, (7)式可进一步写为

      $ \begin{split}&\beta _{lp}^2 =\\ &\frac{{\displaystyle\int_0^{ + \infty } {\left[ {{k^2}{n^2}(x){s^2} - \dfrac{{{l^2}}}{x}} \right]E_{lp}^2{\text{d}}x} - \int_0^{ + \infty } {4x{{\left( {\dfrac{{{\text{d}}{E_{lp}}}}{{{\text{d}}x}}} \right)}^2}} {\text{d}}x}}{{{s^2}\displaystyle\int_0^{ + \infty } {E_{lp}^2{\text{d}}x} }}.\end{split} $

      对于基模LP01, (8)式可简化为

      $ \beta _{01}^2 = \int_0^{ + \infty } {{k^2}{n^2}(x){{\text{e}}^{ - x}}{\text{d}}x} - \frac{1}{{{s^2}}}. $

      把光纤的折射率分布$n(x)$代入(9)式, 并对其积分, 可得到$\beta _{01}^2$的表达式. 这样, (9)式已经将泛函(7)式化简为参数s的单一函数, 让$\beta _{01}^2$取极值, 即令${\text{d}}\beta _{01}^2/{\text{d}}s = 0$, 可得到基模的模斑尺寸s. 把求出的s代入(4)式可以得到一个具体FMF高阶LPlp模的${E_{lp}}(x)$, 再利用(8)式, 又可以求出相应的$\beta _{lp}^2$, 最后得到这种光纤LP模归一化传播常数$ {b_{lp}} $为

      $ {b_{lp}} = \frac{{\beta _{lp}^2/{k^2} - n_2^2}}{{n_1^2 - n_2^2}} \text{, } $

      式中${n_1}$为芯层最大的折射率, 通常${n_{\text{1}}} = n(0)$; ${n_2}$为包层的折射率.

      • 2.3.   模式的群时延和差分群时延

    • 根据(10)式, LPlp的传播常数还可写为

      $ {\beta _{lp}} \approx k{n_2}(1 + \varDelta {b_{lp}}) \text{, } $

      其中$2\varDelta = \dfrac{{n_1^2 - n_2^2}}{{n_2^2}} \ll 1$. 根据LPlp模单位长度上的群时延为

      $ {\tau _{lp}} = \frac{{\partial {\beta _{lp}}}}{{\partial \omega }} = \frac{1}{c}\frac{{\partial {\beta _{lp}}}}{{\partial k}}\text{, } $

      得群时延的表达式为

      $ {\tau _{lp}} = \frac{1}{c}\left[ {\frac{{\partial \left( {k{n_2}} \right)}}{{\partial k}}(1 + \varDelta {b_{lp}}) + k{n_2}\frac{{\partial (\varDelta {b_{lp}})}}{{\partial k}}} \right], $

      令包层材料的群折射率${N_2} = \dfrac{{\partial \left( {k{n_2}} \right)}}{{\partial k}}$, 可得

      $ \begin{split}{\tau _{lp}} = \;&\frac{1}{c}{N_2}\left[ {1 + \varDelta \frac{\partial }{{\partial V}}({b_{lp}}V)} \right] \\ &+\frac{1}{c}k{n_2}\frac{{\partial \varDelta }}{{\partial k}}\left[ {{b_{lp}} + \frac{1}{2}V\frac{{\partial {b_{lp}}}}{{\partial V}}} \right],\end{split} $

      式中$V = ka\sqrt {n_1^2 - n_2^2} $为光纤的归一化频率, a为纤芯的半径.

      如果定义差分模式群时延DMGD是高阶模与基模的群时延之差, 它描述了光纤的模间色散特性, 利用(13)式, 推导出DMGD为

      $ \begin{split} & {\tau _{\rm DMGD}} =\frac{1}{c}{N_2}\varDelta \frac{\partial }{{\partial V}}\left[ {({b_{lp}} - {b_{01}})V} \right]\\ & \quad -\frac{1}{c}{n_2}\lambda \frac{{\partial \varDelta }}{{\partial \lambda }}\left[ {{b_{lp}} - {b_{01}} + \frac{1}{2}V\frac{{\partial ({b_{lp}} - {b_{01}})}}{{\partial V}}} \right]. \end{split} $

      从(14)式可以看出: 少模光纤的DMGD由两项组成, 一项是不考虑相对折射率差$\varDelta$随波长的变化、仅仅因为传播常数随归一化频率的变化而引起, 而另一项则是由相对折射率差$\partial \varDelta /\partial \lambda$随波长的变化所引起. 对于阶跃光纤, 后者的影响较小, 故可以近似认为

      ${\tau _{\rm DMGD}} \approx \frac{1}{c}{N_2}\varDelta \frac{\partial }{{\partial V}}\left[ {({b_{lp}} - {b_{01}})V} \right]. $

      (15)式表明, 减小${\text{d}}\left[ {({b_{lp}} - {b_{01}})V} \right]/{\text{d}}V$和相对折射率差$\varDelta$, 有利于减小阶跃光纤的DMGD.

      计算一般FMFs由DMGD引起的模间色散时, 除了考虑${b_{lp}}$随波长的变化外, 还要考虑$\varDelta$随波长$ \lambda $的变化规律. 对于石英材料, Sellmeier公式给出其折射率n与波长的关系为[27]

      $ {n^2} - 1 = \frac{{{A_1}{\lambda ^2}}}{{{\lambda ^2} - B_1^2}} + \frac{{{A_2}{\lambda ^2}}}{{{\lambda ^2} - B_2^2}} + \frac{{{A_3}{\lambda ^2}}}{{{\lambda ^2} - B_3^2}} , $

      式中A1 = 0.6961663, A2 = 0.4079426, A3 = 0.8974794, B1 = 0.068403, B2 = 0.1162414, B3 = 9.896161.

    3.   梯度折射率少模光纤

      3.1.   基模模斑尺寸和归一化传播常数

    • 梯度折射率光纤是一种广泛使用的光纤, 其折射率分布的表达式为

      $ {n^2}(r) = n_1^2 - (n_1^2 - n_2^2){\left( {\frac{r}{a}} \right)^\alpha }, $

      式中$\alpha $是确定折射率变化情况的指数. 对于梯度折射率光纤, 首要工作是计算一般梯度折射率光纤的模斑尺寸. 利用$x = {\left( {r/s} \right)^2}$, (17)式可进一步表示为

      $ {n^2}(x) = n_1^2 - (n_1^2 - n_2^2){\left( { {s}/{a}} \right)^\alpha }{x^{\alpha /2}}, $

      把(18)式代入(9)式可计算出:

      $ \beta _{01}^2 = {k^2}n_1^2 - \frac{{{V^2}\varGamma ( {\alpha }/{2} + 1)}}{{{a^{\alpha + 2}}}}{s^\alpha } - \frac{1}{{{s^2}}}. $

      利用极值条件: ${\text{d}}\beta _{01}^2/{\text{d}}s = 0$, 求得此光纤基模的模斑尺寸为

      $ s = A\frac{a}{{{V^{2/(\alpha + 2)}}}} , $

      式中$A = {\left[ {\dfrac{2}{{\alpha \, \varGamma (\alpha /2 + 1)}}} \right]^{1/(\alpha + 2)}}$. (20)式是梯度型光纤模斑尺寸的一般表达式. 当$ \alpha = 2 $时, 梯度折射率光纤成为平方律光纤, 此时$ A = 1 $, $s = {a}/{{\sqrt V }}$. 图1表示$ \alpha $分别为1.5, 2.0和2.5时, 模斑尺寸与纤芯半径之比$ s/a $随V的变化. 从图1可以看出: s随$ \alpha $的增大而增大, 而随V的增大而减小. 在本文讨论的$ \alpha $和V值范围内, 模斑尺寸仅为纤芯半径的1/3左右.

      图  1  指数$\alpha $不同时, 梯度折射率光纤模斑尺寸与纤芯半径之比$ s/a $随归一化频率V的变化

      Figure 1.  Ratio of the mode size of the graded fiber to the core radius s/a as a function of normalized frequency V when the index α is different.

      其次, 需要分别计算各个模式的传播常数, 把(20)式代入(19)式得

      $ \beta _{01}^2 = {k^2}n_1^2 - \left[ {\frac{1}{{{A^2}}}{\text{ + }}\varGamma \Big(\frac{\alpha }{2} + 1\Big){A^\alpha }} \right]\frac{{{V^{4/(\alpha + 2)}}}}{{{a^2}}}, $

      再把(21)式代入(10)式得

      $ {b_{01}} = 1 - \left[ {\frac{1}{{{A^2}}} + \varGamma \Big(\frac{\alpha }{2} + 1\Big){A^\alpha }} \right]\frac{1}{{{V^{2\alpha /(\alpha + 2)}}}}. $

      进一步, 把(20)式代入(4)式得到高阶LP模的场分布Elp(x), 再利用(8)式和(10)式, 得到其他LP模的归一化传播常数blp的表达式. 前6个LP模blp的表达式分别为

      $ \begin{split}&\\ &{b_{01}} = 1 - \left[ {\frac{1}{{{A^2}}} + \varGamma \left(\frac{\alpha }{2} + 1\right){A^\alpha }} \right]\frac{1}{{{V^{2\alpha /(\alpha + 2)}}}} \text{, } \\ &{b_{11}} = 1 - \left[ {\frac{2}{{{A^2}}} + \left(\frac{\alpha }{2} + 1\right)\varGamma \left(\frac{\alpha }{2} + 1\right){A^\alpha }} \right]\frac{1}{{{V^{2\alpha /(\alpha + 2)}}}}\text{, } \\ &{b_{02}} = 1 - \left\{ {\frac{3}{{{A^2}}} - \left[ {\alpha + 1 - \left(\frac{\alpha }{2} + 1\right)\left(\frac{\alpha }{2} + 2\right)} \right]\varGamma \left(\frac{\alpha }{2} + 1\right){A^\alpha }} \right\}\frac{1}{{{V^{2\alpha /(\alpha + 2)}}}}\text{, }\\ &{b_{21}} = 1 - \left[ {\frac{3}{{{A^2}}} + \frac{1}{2}\left(\frac{\alpha }{2} + 1\right)\left(\frac{\alpha }{2} + 2\right)\varGamma \left(\frac{\alpha }{2} + 1\right){A^\alpha }} \right]\frac{1}{{{V^{2\alpha /\left(\alpha + 2\right)}}}}\text{, } \\ &{b_{12}} = 1 - \left[ {\frac{4}{{{A^2}}} + \frac{1}{{16}}\left(\alpha + 2\right)\left({\alpha ^2} + 2\alpha + 8\right)\varGamma \left(\frac{\alpha }{2} + 1\right){A^\alpha }} \right]\frac{1}{{{V^{2\alpha /(\alpha + 2)}}}} \text{, }\\ &{b_{31}} = 1 - \left[ {\frac{4}{{{A^2}}} + \frac{1}{6}\left(\frac{\alpha }{2} + 1\right)\left(\frac{\alpha }{2} + 2\right)\left(\frac{\alpha }{2} + 3\right)\varGamma \left(\frac{\alpha }{2} + 1\right){A^\alpha }} \right]\frac{1}{{{V^{2\alpha /(\alpha + 2)}}}}.\\ \end{split}$

      从blp的表达式可见, 对于给定的梯度光纤的幂指数α, blp是归一化频率V的函数. 当α分别为1.5, 2.0和2.5时, blp随V的变化, 分别如图2(a)—图2(c)所示. 注意, 对α =2的平方律光纤, blp表达式变得非常简单, ${b_{01}} = 1 - {2}/{V}$, ${b_{11}} = $$ 1 - {4}/{V}$, ${b_{02}} = {b_{21}} = 1 - {6}/{V}$, ${b_{12}} = {b_{31}} = 1 - {8}/{V}$, 所以平方律光纤LP02和LP21模、LP12和LP31模对应的blp-V曲线分别重合, 如图2(b)所示. 为了验证变分法分析少模光纤的正确性, 使用有限元法对图2(b)中同样参数的光纤进行了数值仿真, 计算出的blp与图2(b)中结果的一致性非常好, 说明变分法分析梯度型折射率光纤是正确和精确的. 此外, 在已知光纤参数情况下, 由前6个LP模的归一化传播常数blp的表达式可直接计算出blp, 比数值方法要简便得多. 比较图2(a)、图2(b)和图2(c)可见, α变小时, b变小, 截止时的V变大.

      图  2  指数α不同时, 梯度折射率光纤归一化传播常数blp随归一化频率V的变化　(a) α = 1.5; (b) α = 2.0; (c) α = 2.5

      Figure 2.  Normalized propagation constant blp of graded index fiber as a function of normalized frequency V when the index α is different: (a) α = 1.5; (b) α = 2.0; (c) α = 2.5.

      • 3.2.   低DMGD梯度折射率光纤的参数优化

    • 对于梯度折射率光纤, 根据(14)式和前6个LP模的$ {b_{lp}} $表达式, DMGD是波长$ \lambda $, 折射率$ {n_1} $, $ {n_2} $, 纤芯的半径a和描述梯度变化的指数$ \alpha $的函数. 因此优化低DMGD的光纤, 实际上就是选择合理选择这些参数的值, 使DMGD尽量小.

      应该说明的是: 参数$ \lambda $, $ {n_1} $, $ {n_2} $和a并不是完全独立的. 光纤包层通常由石英材料制作, 从(16)式可知, 其折射率是$ \lambda $的函数, $ \lambda $确定了, 包层折射率$ {n_2} $也就确定了, 所以在进行优化时, 主要是确定$ {n_1} - {n_2} $或$ {n_1} $的值, 但$ {n_1} - {n_2} $又与a有关, 原因如下.

      归一化频率$V = 2{\text{π }}a\sqrt {n_1^2 - n_2^2} /\lambda $的大小决定了光纤中存在的模式数量, 这一点可以从图2看出, 因此在优化时, 首先需要确定要使用的LP模的数量, 然后确定V值. 本文选择前6个LP模LP01, LP11, LP21, LP02, LP31和LP12作为传输模式, 就需要考虑更高阶的模式LP03, LP22, LP41及其以上的模式截止. 考虑到$ \alpha = 2 $时, 模式LP31和LP12截止时的V值为8, 见图2(b), 模式LP03, LP22和LP41截止时的V值为10, 另外根据文献[3]中给出的结果: DMGD很小时, $ \alpha $的值在2附近, 应选取光纤的V值大于8小于10. 给出V值范围后, 还要考虑以下两个因素, 1) V值较小时模式LP31和LP12弯曲损耗变大, 这就要求V值远离LP31和LP12的截止值8; 2)为了充分保证高阶模LP03, LP22和LP41截止, V值应比10稍小一些. 综合以上两个因素后, 并考虑到$ {n_1} - {n_2} $和$ a $的实际取值范围, 这里取$ V = 9.66 $. 在V确定的条件下, 对于某一波长的入射光, $ {n_1} - {n_2} $和$ a $的关系是确定的, 因此优化参数时, $ a $和$ {n_1} - {n_2} $中只取其中一个即可, 这里取a.

      这样能够独立选择的优化参数是$ \lambda $, a和$ \alpha $. 设入射光的波长λ = 1.55 μm, 将前6个LP模的$ {b_{lp}} $代入(14)式, 并利用(16)式, 计算LP11, LP21, LP02, LP31和LP12的DMGD随$ \alpha $和$ a $的变化, 得到LP11的DMGD曲线如图3所示. 其他模式的曲线也类似, 只是DMGD值大一些, 为简便不再绘制. 从图3可以看出: DMGD对$ \alpha $的变化非常敏感, 当$ \alpha = 1.975 $时, DMGD最小; 相比之下, DMGD随a的变大而缓慢变小, a越大DMGD的变化越缓慢. 为了便于比较, 给出了$ \alpha $为最优数值, 即$ \alpha = 1.975 $时, 不同LP模相对于基模的DMGD随a的变化, 如图4所示. 从图4可以看出: LP11的DMGD最小, LP21和LP02的DMGD值基本相等, 曲线重合, 处于中间位置, LP31和LP12的DMGD值也基本相等, 曲线也重合, 处于最大位置. 此外, 当$ a > 15\; {\text{μm}}$时, 6个LP模的DMGD都小于2 ps/km. 应该指出: 使LP11模的DMGD等于零时的$ \alpha $作为最优值更为理想, 但由于$ \alpha $制造误差较大(见后面的讨论), 这种对$ \alpha $更精细的调整意义不大.

      图  3  LP11模的DMGD随α和a的变化

      Figure 3.  DMGD of LP11 mode as a function of α and a.

      图  4  λ = 1.55 μm, α = 1.975时DMGD随a的变化

      Figure 4.  DMGD as a function of a when λ = 1.55 μm, α = 1.975.

      在优化时, 还要计算DMGD随波长的变化. 图5是a = 14 μm, $ {n_1} - {n_2} = 0.01 $, $ \alpha = 1.975 $时, DMGD随波长的变化. 在C+L波段(1.530—1.625 μm), V的变化范围为9.77—9.20, 满足仅传输前6个LP模的条件. 从图5可以看出: LP11的$\left| \tau_{{\text{DMGD}}} \right| < 5$$ {\kern 1 pt} {\text{ps/km}} $, LP21和LP02的$\left| \tau_{{\text{DMGD}}} \right| < $$ 10{\kern 1 pt}$$ {\kern 1 pt} {\text{ps/km}} $, LP31和LP12的$\left| \tau_{{\text{DMGD}}} \right| < 15{\kern 1 pt}$$ {\kern 1 pt} {\text{ps/km}} $, 这样低的DMGD非常理想.

      图  5  DMGD随波长的变化

      Figure 5.  DMGD as a function of wavelength

      1)$ \alpha $值相对独立, 最容易确定, 正如上面所讨论的, 取$ \alpha = 1.975 $. 2)在V不变情况下, 纤芯半径a越大, $ {n_1} - {n_2} $越小, LP模对弯曲越敏感, 从这个角度看应让a较小, $ {n_1} - {n_2} $较大. 但a变小时模有效面积又变小, 为了使基模的$ {A}_{\text{eff}} > 100　 $ μm2, a应该大于12.5 μm, 于是取a = 14 μm. 按照$V = 9.66$, 入射光波长λ = 1.55 μm, 最后确定${n_1} - {n_2} = 0.01$.

      最后讨论光纤制造误差对DMGD的影响. 根据文献[4]给出的光纤制造时纤芯折射率$ {n_1} $、半径a和$ \alpha $值的三倍标准差$ 3\sigma $($ \sigma $表示标准差)分别为$ 5 \times {10^{ - 4}} $, $0.5{\kern 1 pt} {\kern 1 pt}\; {\text{μm}}$和0.02, 可计算出入射光波长λ = 1.55 μm, 参数值$ {n_1} - {n_2} = 0.01 $, a = 14 μm , $ \alpha = $$ 1.975 $时, 制造误差偏离上述3个参数值分别为$ \pm \sigma $, $ \pm 2\sigma $和$ \pm 3\sigma $情况下, LP31和LP12的DMGD的变化, 这两个模式是6个模式中DMGD最大的, 对制造误差也是最敏感的, 具体计算结果如图6所示. 由于纤芯折射率和半径制造误差引起DMGD的变化较小, 而$ \alpha $误差引起的变化较大, 为了能清晰地看出光纤各参量误差对DMGD的影响, 图中绘制了两个y轴, 分别表示折射率和纤芯半径误差, 以及$ \alpha $误差引起的DMGD变化. 从图6可以看出, DMGD对$ \alpha $变化非常敏感, 制造误差会使实际FMFs的DMGD明显增大, 为此将两个具有相反DMGD的FMF相连接, 通过选择合适的延时、延时斜率和光纤长度, 可以构造出实际DMGD较小的光纤补偿链路.

      图  6  DMGD随折射率、芯区半径和α值制造误差的变化

      Figure 6.  DMGD as a function of manufacturing errors of refractive index, core radius and α value.

    4.   结　论

    • 提出了使用变分法分析任意芯层折射率高于包层的FMF传输特性的方法, 包括模式场分布、传播常数和DMGD. 以梯度折射率光纤为研究对象, 推导出了不同幂次梯度型光纤的基模模斑尺寸和归一化传播常数的解析表达式, 分析了DMGD随光纤参数的变化规律, 说明了光纤参数的优化方法. 得到了能够传输前6个LP模的FMF在C和L波段的优化参数: $ {n_1} - {n_2} = 0.01 $, a = 14 μm, $ \alpha = 1.975 $. 最后讨论了光纤制造误差对DMGD的影响, 证实了$ \alpha $值对DMGD的影响最大, 并指出可以将两个具有相反DMGD的实际FMF连接作为补偿链路, 部分抵消由于$ \alpha $制造误差产生的高DMGD.

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