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采用基于玻尔兹曼输运方程的第一性原理计算方法深入研究了硼基III-V化合物的热导率性质, 与IV族和III-V族半导体进行对比, 发现砷化硼的高热导率主要来源于硼基III-V化合物中声学支和光学支之间存在一个很大的频率带隙, 导致两个声学声子的能量要小于一个光学声子的能量, 无法满足三声子散射的能量守恒要求, 严重遏制了三声子散射几率. 金刚石的高热导率主要来自其拥有极大的声学声子群速度. 磷化硼虽然也拥有较大的声学声子群速度, 但是其频率带隙比较小, 无法有效遏制三声子散射, 所以磷化硼的热导率小于砷化硼; 尽管锑化硼的频率带隙与砷化硼相当, 但是由于其拥有较小的声学声子群速度和较大的耦合矩阵元, 导致锑化硼的热导率低于砷化硼. 该研究为设计高热导率半导体材料提供了新的认识.Over the past half-century, according to Moore’s law, the sizes of transistors continue shrinking, and the integrated circuits have approached to their physical limits, which puts forward higher requirements for the thermal dissipation capacity of material. Revealing the physical mechanisms of heat conduction in semiconductors is important for thermal managements of devices. Experimentally, it was found that boron arsenide has a very high thermal conductivity compared with diamond, and boron arsenide has lattice constant close to silicon’s lattice constant, which can be heterogeneously integrated into silicon to solve the thermal management problem. However, group III-V boron compounds show abnormal thermal conductivities: the thermal conductivity of boron arsenide is significantly higher than that of boron phosphide and boron antimonide. Here, we use the first-principles calculation and the Boltzmann transport equation to study the thermal conductivity properties of the group III-V boron compounds. Comparison between the IV and III-V semiconductors shows that the high thermal conductivity of boron arsenide is due mainly to the existence of a large frequency gap between the acoustic and the optical branches. The energy sum of two acoustic phonons is less than energy of one optical phonon, which cannot meet the energy conservation requirements of three-phonon scattering, and then seriously restrict the probability of scattering of three phonons. The high thermal conductivity of diamond is due mainly to its great acoustic phonon group velocity. Although the boron phosphide also has a relatively large acoustic phonon group velocity, the frequency gap is relatively small, which cannot effectively suppress the three-phonon scattering, so the thermal conductivity of boron phosphide is less than that of boron arsenide. Although the frequency gap of boron antimonide is similar to that of boron arsenide, the thermal conductivity of boron antimonide is lower than that of boron arsenide due to its smaller acoustic phonon group velocity and larger coupling matrix element. The research provides a new insight into the design of semiconductor materials with high thermal conductivities.
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Keywords:
- group III-V semiconductors /
- boron arsenide /
- thermal conductivity /
- anharmonicity
1. 引 言
单个粒子可以处于纯态或混合态. 在量子信息传输中, 单粒子的初始纯态一般会变为混合态. 很难制备单粒子纯态, 得到的一般是混合态. 如何得到接近纯态的混合态是个有意义的问题. 在孤立的氢原子模型中, 假设原子核质量趋近无穷大, 则其电子处于纯态. 但考虑氢原子核的质量, 那么, 核与电子处于纠缠态[1,2] (即不能写成原子核状态与电子态的直积态), 电子处于混合态. 对于不同的类氢原子, 其核质量不同, 它们的电子混合态也会不同. 核质量越大, 电子混合态自然越接近相应的纯态. 本文定量讨论混合态与纯态是如何接近的.
讨论5个一维类氢原子系统, 它们具有相同的电子和库仑相互作用势能, 而原子核的质量不同. 假设前两个原子的核质量与电子的比为10和100, 后三个是氕、氘和氚原子, 质量比约为1836, 2 × 1836和3 × 1836. 它们均可以看成两体复合系统, 这些两体复合系统都处于纠缠态, 可以用密度矩阵表示. 对密度矩阵的一部分求迹, 得到的约化密度矩阵[3,4]表示另一部分的状态为混合态. 在假设的原子核质量为无穷大的一维氢原子中, 电子处于纯态. 把这5种情形的电子混合态及其相干性与纯态及其相干性进行比较. 比较的方式是用纯度[5]、保真度[6-10]和相干性[11-22]进行定量计算. 根据定义, 纯度定量表征混合态中的纯态“含量”. 纯度越高, 越接近纯态; 纯度为1的即为纯态. 保真度可以用来定量比较两个量子态的接近程度. 若值为1, 则两个态相同. 量子态的相干性与选取的表象有关, 若在所选的表象中为本征态, 则没有相干性; 纯态的相干性表征干涉的对比度; 而对于一个混合态, 相干性则表征了所有纯态成分的干涉或相干的大小总和.
本文第2节引用一维类氢原子的两体模型, 计算第一激发态及其与第二激发态的叠加态中的电子混合态密度矩阵. 第3节计算这些混合态的纯度、与相应纯态之间的保真度、以及用
l1 norm 定量的混合态和纯态的相干性.2. 模 型
这里采用简单的孤立一维氢原子模型[1,23,24]. 用薛定谔方程求解这样的两体问题, 可以分成质心运动和相对运动两部分. 质心运动相当于自由粒子运动. 文献[3]指出, 自由粒子的初始能量可以为零. 因此, 设质心不动, 为坐标原点. 只需考虑相对运动. 对于原子核质量趋近无穷大的一维氢原子, 文献[23,24]给出了其定态薛定谔方程的波函数偶宇称和奇宇称的表达式:
ψ+n(x)⊂{xF(1−n,2,2xna)e−x/na, x>0,−xF(1−n,2,−2xna)e−x/na, x<0, (1) ψ−n(x)={ψ+n(x), x>0,−ψ+n(x), x<0, (2) 其中
F 为合流超几何函数,a 是玻尔半径,ψ+n(x) 和ψ−n(x) 都是实函数.由于系统相对运动的基态为
√δ 函数[1], 不利于计算, 所以选取第一激发态偶宇称波函数和第一与第二激发态偶宇称波函数的叠加态进行计算. 同时, 为了表述的问题方便计算, 取ℏ=1 ,e=1 ,me=1 , 则电子在原子核质量趋近无穷大的一维氢原子中的运动, 其归一化的第一激发态偶宇称波函数可写成ψ+1(x)=√2|x|e−|x|. (3) 归一化的第一与第二激发态偶宇称波函数的叠加态可写成
ψ+12(x)=√22[√2|x|e−|x|+√14(|x|−|x|22)e−|x|/2]. (4) 当考虑原子核的质量时, 第一激发态偶宇称波函数变为
ϕ+1(xe,xp)=b′|xe−xp|e−|xe−xp|1+1/mp, (5) 第一与第二激发态偶宇称波函数的叠加态变为
ϕ+12(xe,xp)=√22[b′|xe−xp|e−|xe−xp|1+1/mp +c′(|xe−xp|−|xe−xp|22)e−|xe−xp|2(1+1/mp)], (6) 其中
xe 和xp 分别是电子和原子核的位置坐标;mp 是原子核质量;b′ 和c′ 是相应第一和第二激发态偶宇称波函数的归一化常数, 数值大小随所取的原子核质量的大小不同而不同, 并能通过求全空间概率为1得到具体数值.ϕ+1(xe,xp) 和ϕ+12(xe,xp) 都是实函数. 相应的密度矩阵为:ρ1=|ϕ+1⟩⟨ϕ+1| 和ρ12=|ϕ+12⟩⟨ϕ+12| . 假设电子为粒子1, 原子核为粒子2. 对粒子2部分求迹可得到电子的约化密度矩阵ρ(1)1=tr2ρ1 和ρ(1)12=tr2ρ12 , 表示电子的混合态. 在位置表象中, 位置有连续本征值谱[4], 相应的约化密度矩阵元分别表示为(ρ(1)1)xex′e=∫ϕ+1(xe,xp)ϕ+1(x′e,xp)dxp, (7) (ρ(1)12)xex′e=∫ϕ+12(xe,xp)ϕ+12(x′e,xp)dxp, (8) 其中
xe 和x′e 分别表示约化密度矩阵的行和列.3. 纯度、保真度和相干性计算
3.1 纯度的计算
混合态的纯度的一种定义[5]为
P(ρ)=tr(ρ2), (9) 在位置表象中, 求迹写成积分. 对于约化密度矩阵
ρ(1)1 和ρ(1)12 , 其纯度计算公式可分别表示为P1(ρ(1)1)=∬(ρ(1)1)xex′e(ρ(1)1)x′exedxedx′e, (10) P12(ρ(1)12)=∬(ρ(1)12)xex′e(ρ(1)12)x′exedxedx′e. (11) 按照上述
ℏ=1 ,e=1 ,me=1 的设定, 当积分区间取[−20,20] 范围内时, 第一激发态和叠加态偶宇称波函数所表示的概率非常接近1, 所以电子的积分区间取[−20,20] . 根据两体问题的运动关系, 相应的原子核的积分区间取为[−20mp,20mp] , 其中mp 是原子核的质量.考虑5个一维类氢原子系统， 分别计算了原子核质量取不同值时，电子混合态的纯度的变化趋势, 即
tr(ρ(1)1)2 和tr(ρ(1)12)2 的变化趋势.图1为纯度变化趋势图, 可以看出, 原子核的质量越大, 电子混合态的纯度越高, 并非常接近1. 对于氕、氘和氚原子, 电子混合态都近似于某个纯态. 反之, 说明一个纯态是由混合态近似而来的.
图 1 纯度变化趋势图, 横坐标表示原子核质量和电子质量之比 (a) 第一激发态; (b) 叠加态Fig. 1. Purity vs. the ratio of mass between nucleus and electron: (a) The first excited state; (b) the superposition of the first and the second excited states3.2 保真度的计算
混合态与纯态之间的保真度定义[9]为
F(|ψ⟩,ρ)=⟨ψ|ρ|ψ⟩. (12) 仍然利用积分计算
ψ+1 和ρ(1)1 以及ψ+12 和ρ(1)12 的保真度F1(ψ+1,ρ(1)1)=∬ψ+1(xe)(ρ(1)1)xex′eψ+1(x′e)dxedx′e, (13) F12(ψ+12,ρ(1)12)=∬ψ+12(xe)(ρ(1)12)xex′eψ+12(x′e)dxedx′e, (14) 两个保真度变化趋势如图2所示.
从图2可以看出, 原子核的质量越大, 保真度越大, 电子混合态与相应的纯态也越接近. 在氕、氘和氚原子情形, 保真度都接近1, 说明电子混合态都近似于纯态. 反之, 说明这两个纯态都是由相应混合态近似而来的.
图 2 保真度变化趋势图, 横坐标表示原子核质量和电子质量之比 (a) 第一激发态; (b) 叠加态Fig. 2. Fidelity vs. the ratio of mass between nucleus and electron: (a) the first excited state; (b) the superposition of the first and the second excited states3.3 相干性的计算
量子态的相干性是相对特定表象而言的. 在能量表象中, 这里的电子第一激发态是能量本征态, 没有相干性. 但在位置表象中, 第一激发态是位置本征态的叠加态, 是有相干性的. 第一与第二激发态的叠加态在这两个表象中, 都有相干性. 这里也采用位置表象. 量子态
l1 norm 相干性定义[13]为:Cl1(σ)=∑i≠j|σij| . 在采用位置表象后, 求和改成积分的形式Cl1(σ)=∬|σxex′e|dxedx′e−1. (15) 分别计算
ψ+1(x) 和ψ+12(x) 以及ρ(1)1 和ρ(1)12 的相干性, 并得到了混合态的相干性随原子核质量变化的趋势图, 如图3所示.从图3可以看出, 原子核的质量越大, 电子混合态的相干性与相应纯态的相干性越接近. 也说明氕、氘和氚原子中, 电子混合态的相干性都近似于相应纯态的相干性.
图 3 相干性变化趋势图, 横坐标表示原子核质量和电子质量之比 (a)第一激发态; (b)叠加态Fig. 3. Coherence vs. the ratio of mass between nucleus and electron: (a) The first excited state; (b) the superposition of the first and the second excited states3.4 讨 论
与纯度和保真度不同的是, 这里得到的电子混合态的相干性不是随原子核质量的增大而增大, 而是相反. 这可以做如下解释: 在特定表象中, 若纯态是本征态, 则没有相干性; 而混合态的成分中, 有不同本征态的相干叠加态, 则相干性不为零. 例如, 某一表象有三个本征态基矢
{φ1,φ2,φ3} , 若纯态是其中任一本征态, 则相干性为零; 而混合态中出现纯态1√2(φ1+φ2) 的概率为1/3, 出现纯态1√2(φ1+φ3) 的概率为2/3, 则相干性不为零. 说明混合态的相干性可以大于纯态的相干性.虽然相干性变化规律与保真度不同, 但仍然说明这两个纯态的相干性都是由相应混合态近似而来的. 这里的电子混合态及其相干性, 都是与原子核及它们的库仑相互作用势能有关的. 这是因为这样的两体复合系统的哈密顿量含有原子核的动能算符和库仑相互作用势能算符, 电子与原子核的纠缠态就与原子核质量和库仑相互作用有关. 若原子核质量很大, 它就近似不动或它的状态近似不变, 库仑相互作用势能也近似为电子的外场库仑势能. 换一个角度看, 原子核与电子的纠缠态近似为核的不变状态与电子态的直积态[25-30]. 这样, 电子的纯态就是近似的, 这个纯态及其相干性就与原子核及它们的库仑相互作用势能有关.
这个特例有可能推广到其它孤立的两体复合系统中进行定量计算. 其一体保持为微观体不变, 相互作用势能也不变, 而另一体由微观体换成宏观体. 那么, 微观体在宏观体的势场中运动, 其状态近似为纯态, 并在一些表象中显示相干性. 因此, 这个纯态及其相干性与宏观体有关, 并与相互作用势能(即近似的外场)有关.
4. 结 论
本文利用纯度、保真度和相干性, 对一维类氢原子中的电子状态随核质量的变化进行了定量计算. 结果表明, 一维类氢原子核质量趋近无穷大的电子纯态及其相干性, 可以由一维类氢原子中电子的混合态及其相干性近似而来. 这种电子混合态及其相干性与原子核及它们的库仑相互作用势能有关, 因而, 电子的这种纯态及其相干性也是如此. 说明存在单粒子的一些纯态及其相干性是混合态及其相干性的近似, 并且这些态及其相干性与其他物体及相互作用有关.
[1] 王拓, 陈弘毅, 仇鹏飞, 史迅, 陈立东 2019 物理学报 68 090201
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图 1 (a)半导体材料热导率的第一性原理计算(实线), 不同颜色对应不同材料热导率值. 另外离散点来源于已有文献中实验测量的热导率数据, 其中墨绿色的圆圈[29]、正方形[30]和三角形[31]对应BP; 红色的圆圈[14]、正方形[15]和三角形[13]对应BAs; 黑色的圆圈[15]、正方形[32]和三角形[33]对应金刚石材料. (b) 各种不同半导体材料在单位体积下声子群速度的外积(
vλ⊗vλ/V0 )随晶格振动频率的变化. (c)温度为100 K时各种半导体材料声子弛豫时间随晶格振动频率的变化Fig. 1. (a) First-principles calculation of thermal conductivity of semiconductor materials (solid line), different colors correspond to different materials. In addition, the discrete points are derived from the thermal conductivity data measured experimentally in existing literature. The olive circles[29], squares[30] and triangles[31] correspond to BP. Red circles[14], squares[15] and triangles[13] correspond to BAs. Black circles[15], squares[32] and triangles[33] correspond to diamond. (b) Outer product of phonon group velocities per unit volume of various semiconductor materials as a function of frequency(
vλ⊗vλ/V0 ). (c) Phonon relaxation time of various semiconductor materials at 100 K as a function of frequency.
图 2 (a)金刚石 (紫色)的晶格振动谱; (b) BAs (红色)和Si (墨绿色)的晶格振动谱; (c) BP (黑色)和BSb (蓝色)的晶格振动谱; (d) BP, BAs, BSb和Si的声子寿命或弛豫时间
Fig. 2. (a) Lattice vibration spectrum of diamond (violet); (b) lattice vibration spectrum of boron arsenide (red) and silicon (olive); (c) lattice vibration spectra of boron phosphide (black) and boron antimonide (blue); (d) phonon lifetime of boron phosphide, boron arsenide, boron antimony and silicon.
图 3 BP, BAs和BSb的耦合矩阵元随晶格振动频率的变化
Fig. 3. Coupling matrix element of BP, BAs and BSb as a function of frequency.
图 4 (a) BAs和GaAs的晶格振动谱; (b) BP, BAs, BSb, GaP, GaAs的单位体积下群速度外积
Fig. 4. (a) Lattice vibration spectra of boron arsenide and gallium arsenide; (b) outer product of group velocities per unit volume of boron phosphide, boron arsenide, boron antimony, gallium phosphide and gallium arsenide.
表 1 BP, BAs, BSb以及Si的横向光学模式最大振动频率(
ωTO )、横向声学模式最大振动频率(ωTA )、频率间隙(Δ=ωTO−ωTA )、组成化合物的元素的原子质量(m, M)、CTable 1. Maximum vibration frequency of transverse optical mode, maximum vibration frequency of transverse acoustic mode, frequency gap, atomic mass of elements of compound and elastic force constant of boron phosphide, boron arsenide, boron antimonide and silicon.
物理量 BAs BP BSb Si ωTO/THz 19.19 22.60 16.90 14.84 ωTA/THz 8.93 15.15 6.48 11.09 Δ/THz 10.26 7.45 10.42 3.75 m/amu 10.8 10.8 10.8 28.09 M/amu 74.95 30.97 121.8 28.09 (√1m−√1M)/amu–0.5 0.188 0.124 0.213 0 力常数C/(eV·Å–2) 15.2911 19.0982 12.3004 12.3523 √C/(eV0.5·Å–1) 3.910 4.370 3.507 3.514 
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表 2 各族元素原子p轨道能量(单位为Ry), 其中列出了具体的元素名称
Table 2. Atomic p orbital energies of each group of elements (in Ry), and the specific names of the elements are listed.
原子轨道能量 IIA或IIB族 IIIA族 IVA族 VA族 VIA族 2p Be B C N O –0.1608 –0.2795 –0.4044 –0.5382 –0.6819 3p Mg Al Si P S –0.1068 –0.2103 –0.3125 –0.4174 –0.5288 4p Zn Ga Ge As Se –0.0964 –0.2073 –0.3040 –0.3985 –0.4956 5p Cd In Sn Sb Te –0.1034 –0.2044 –0.2907 –0.3734 –0.4557 6p Hg Tl Pb Bi Po –0.0928 –0.1957 –0.2788 –0.3569 –0.4335
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