1.   引　言

真空电弧是一种特殊的金属蒸气放电现象^[1], 其放电介质来自电极材料的蒸发和电离, 在阳极未活跃时该放电通道完全由阴极表面离散的阴极斑点发射出的等离子体射流组成. 每个阴极斑点所能承载的电流取决于电极材料, 当电弧电流超过一定值时, 则需要一定数量的阴极斑点射流共同承担. 作为等离子体物理领域一种常见的放电形式, 真空电弧在真空断路器^[2]、真空镀膜^[3]和航天电推进器^[4,5]等应用中都扮演着非常重要的角色.

作为一种重要的等离子体控制手段, 外施纵向磁场对于真空电弧的宏观形貌及微观参数分布有着重要的影响^[6]. 国内外研究者针对外施纵磁下真空电弧等离子体进行了大量的实验与数值仿真研究. Rondeel^[7]通过实验和理论分析发现, 在磁场的作用下, 等离子射流中的电子受磁场作用做减速运动并产生径向电场, 离子的运动受该径向电场的影响; Keidar等^[8]建立了大电流真空电弧模型, 仿真解释了外施纵向磁场与电弧电压之间的“L”形关系曲线; 王立军等^[9]基于电子和离子双流体模型建立了大电流情况下真空电弧的magneto-hydrodynamics (MHD)模型, 仿真发现外施马鞍形分布的纵向磁场能够更有效地抑制大电流情况下真空电弧的收缩; Jia等^[10]使用MHD方法建立了外施纵向磁场下考虑阴极处电流密度分布的大电流真空电弧模型, 考虑了阴极斑点分布不均对于真空电弧特性的影响; Wang等^[11]实验研究了外施纵向磁场对真空电弧等离子体射流的影响, 发现随着纵向磁场强度的增加, 等离子体射流开始收缩并且其几何形状从圆锥形逐渐变为圆柱形.

相比于实验研究方法, 数值仿真计算因其高效和经济的特点已经成为了研究等离子体物理问题的重要工具. 现有文献对于外施纵向磁场下真空电弧等离子体的仿真研究大都集中于多个阴极斑点同时存在的情况下^[8-10], 而较少地关注单个阴极斑点等离子体射流情况下的物理问题. 其原因在于现有的仿真计算方法在处理单个阴极斑点等离子体射流时, 无法有效地平衡计算精度和计算效率二者之间的关系. 对于MHD仿真方法, 当电弧电流较小时, 极板间等离子体密度较低且极不均匀, 碰撞频率相对较低, 局部区域可能会偏离热平衡条件从而导致流体假设不再适用. 另一种常常采用的等离子体仿真方法是基于第一性原理的粒子云网格(particle-in-cell, PIC) 仿真方法^[12]. 此种方法将电子和离子作为宏粒子考虑, 可以更精确地描述等离子体特性. 但是由于要追踪大量宏粒子的运动信息, 使得仿真计算对于计算机的性能要求较高, 耗时较长, 因此只适合将其应用于时空尺度较小或者等离子体密度较低的物理问题之中.

最近越来越多的研究者开始关注混合等离子体仿真方法(hybrid plasma simulation), 以解决某些特定物理问题仿真中存在的计算精度与仿真效率之间的矛盾^[13-15]. 混合仿真方法可以灵活地将不同类型的粒子建模为宏粒子或者流体, 还可以针对物理问题在不同区域采用不同的建模方法, 使得其可以在保留特定粒子动力学效应的前提下平衡仿真模型的效率和准确性. 但是, 此种仿真方法尚处于探索阶段, 并无成熟的商业软件可用, 为相关研究带来了困难.

本文的目的是通过混合等离子体仿真方法研究外施纵向磁场对真空电弧单阴极斑点等离子体射流特性的影响. 第2节首先介绍了真空电弧单阴极斑点等离子体射流物理模型, 在模型中将离子作宏粒子考虑而电子作无质量流体处理, 同时考虑了电弧电流产生的自生磁场, 然后介绍了本课题组开发的一套等离子体混合仿真代码的数学模型及其推进步; 第3节展示了不同外施纵向磁场强度下的仿真计算结果; 第4节从能量守恒的角度理论分析了外施纵向磁场对于单阴极斑点等离子体射流扩散半径的影响, 验证了仿真结果的正确性; 第5节为本文的结论部分.

2.   真空等离子体射流建模

2.1   物理模型与假定

模型的建立基于如下假定:

1)等离子体射流完全电离, 极板间等离子体仅包括离子和电子两种带电粒子, 不考虑中性粒子的作用;

2)等离子体是准中性的, 因此给定离子的电荷密度, 可以确定电子密度;

3)在求解区域中, 等离子体参数满足l_e $\ll$ d, τ_e $\ll$ t_e, 其中l_e为电子平均自由程, d为电极间距, τ_e为电子平均碰撞时间, t_e为电子从阴极运动到阳极所需时间, 因此在仿真模型中用流体理论来近似描述电子输运过程;

4)仿真模型中忽略了电子的惯性分量, 电子被认为是无质量流体, 并且其温度保持恒定^[16];

5)在本模型中“阴极斑点”不是真正的阴极斑点, 而是略微高于真实阴极斑点的等离子体射流的截面, 模型中其仅作为等离子体射流源存在, 不考虑近阴极斑点区域等离子体产生的细致过程, 下文为了描述方便, 仍称之为阴极斑点, 并且针对不同大小的电弧电流和外施磁场, 阴极斑点的大小均保持不变;

6)不考虑阴极斑点的运动.

真空电弧单阴极斑点等离子体射流模型如图1所示, 等离子体射流由阴极表面的阴极斑点喷射出的电子和离子组成. 电子和离子从阴极斑点发射出后扩散至极板间, 在向阳极运动的过程中同时伴随着沿径向的扩散运动. 根据实验测量结果^[17], 在真空电弧中阴极斑点喷射出的离子的动能为40—60 eV, 而离子的温度只有0.5—1.5 eV, 所以离子的运动更多体现的是粒子特性. 而电子则刚好相反, 其热速度要远大于其漂移速度, 所以电子的运动更多体现的是气体特性. 因此在我们的仿真模型中, 将离子当作宏粒子处理, 而电子则当作流体处理.

2.2   数学模型

电子被当作无质量流体, 其动量方程用下式描述:

$$\frac{\partial }{{\partial t}}{n_{\rm{e}}}{m_{\rm{e}}}{{{v}}_{\rm{e}}} = 0 = - e{n_{\rm{e}}}\left( {{{E}} + {{{v}}_{\rm{e}}} \times {{B}}} \right) - \nabla {P_{\rm{e}}} + \frac{{e{n_{\rm{e}}}{{j}}}}{\sigma },$$

(1)

式中n_e, m_e, v_e和e分别代表电子数密度、电子质量、电子速度和电子电荷; P_e是电子压力; j是电流密度; σ是等离子体电导率; E和B分别为电场强度和磁感应强度. (1)式等号右边的最后一项代表电子和离子之间碰撞阻力的影响^[18].

电子被当作理想气体:

$${P_{\rm{e}}} = {n_{\rm{e}}}{k_{\rm{B}}}{T_{\rm{e}}},$$

(2)

式中, k_B是玻尔兹曼常数, T_e是电子温度. 电子和离子之间的碰撞频率${\nu _{{\rm{ei}}}}$、等离子体电导率$\sigma$分别为^[19]:

$${\nu _{{\rm{ei}}}} =\frac{{\left( {\ln \varLambda /10} \right){Z_{\rm{i}}}{n_{\rm{e}}}}}{{3.5 \times {{10}^{10}}T_{\rm{e}}^{3/2}}},$$

(3)

$$\sigma = \frac{{{n_{\rm{e}}}{e^2}}}{{{m_{\rm{e}}}{\nu _{{\rm{ei}}}}}},$$

(4)

式中, lnΛ为库仑常数, Z_i为离子平均电荷.

离子作为宏粒子考虑, 其位移由运动方程决定, 加速度由洛伦兹力决定:

$$\frac{{{\rm{d}}{{{x}}_{\rm{i}}}}}{{{\rm{d}}t}} = {{{v}}_{\rm{i}}},$$

(5)

$${m_{\rm{i}}}\frac{{{\rm{d}}{{{v}}_{\rm{i}}}}}{{{\rm{d}}t}} = {q_{\rm{i}}}\left( {{{E}} + {{{v}}_{\rm{i}}} \times {{B}}} \right) - \frac{{{q_{\rm{i}}}{{j}}}}{\sigma },$$

(6)

式中, m_i, x_i, q_i和v_i分别代表离子质量、离子位移、离子电荷和离子速度. (6)式等号右边的最后一项和电子动量方程(1)式中的对应项平衡.

电子密度和离子密度满足电中性条件:

$${n_{\rm{e}}} \approx {Z_{\rm{i}}}{n_{\rm{i}}}.$$

(7)

电子和离子是电流的载体, 电流密度与电子和离子运动速度之间的关系为

$$j = {q_{\rm{i}}}{n_{\rm{i}}}{{{v}}_{\rm{i}}} - e{n_{\rm{e}}}{{{v}}_{\rm{e}}}.$$

(8)

电流密度由安培环路定律给出, 其中位移电流项被忽略(达尔文静磁近似):

$${{j}} = \frac{1}{{{\mu _0}}}\nabla \times {{B}},$$

(9)

式中μ₀为真空磁导率. 磁场的演变遵循法拉第电磁感应定律:

$$\frac{{\partial {{B}}}}{{\partial t}} = - \nabla \times {{E}}.$$

(10)

除了上面方程中的安培环路定律(9)式和电磁感应定律(10)式, 麦克斯韦方程组还另外包括磁通连续性原理和高斯定律两个方程. 在本文的仿真模型中, 磁场被储存在仿真网格的网格面上, 并且直接在网格面上计算其变化. 因此当磁场按照电磁感应定律计算时, 在数值上磁场将会保持为舍入误差内的无散度场, 满足了磁通连续性原理^[20]. 由于电中性方程(7)式, 高斯定律满足$\nabla \cdot {{D}} = 0$.

(1)式—(10)式就是等离子体混合算法所包含的泛定方程, 在每个时间步结束后需要更新并代入下个时间步的变量包括离子的速度信息和位置信息($v_{\rm i}, x_{\rm i}$)及磁感应强度(B). 代码推进采用蛙跳格式, 离子速度存储在时间整点上, 离子位置和磁感应强度则存储在时间半点上. 在t = n时间步时变量信息为($v_{\rm i}^n, x_{\rm i}^{n-1/2}, B^{n-1/2}$), 程序执行步骤如下.

1)使用t = n时刻的离子速度${{{v}}_i^{n }}$推动离子位置从$x_{\rm i}^{n-1/2}$到$x_{\rm i}^{n+1/2}$:

$$\frac{{{{x}}_{\rm{i}}^{n + 1/2} - {{x}}_{\rm{i}}^{n - 1/2}}}{{\Delta t}} = {{v}}_{\rm{i}}^n,$$

(11)

同时基于离子的位置信息及电中性条件(7)式, 获得t = n时刻的离子数密度$n_1^n$和电子数密度$n_{\rm e}^n$及t = n + 1/2时刻的电子数密度$n_{\rm e}^{n+1/2}$.

2)使用t = n – 1/2时刻的磁感应强度${{{B}}^{n - 1/2}}$计算电流密度${{{j}}^{n - 1/2}}$:

$${{{j}}^{n - 1/2}} = \frac{1}{{{\mu _0}}}\nabla \times {{{B}}^{n - 1/2}}.$$

(12)

3)采用预测-修正算法^[21]分两步推动磁感应强度从${{{B}}^{n - 1/2}}$到${{{B}}^{n +1/2}}$, 首先是预测步. 计算t = n时刻的电子速度${{{v}}_{\rm e}^{n*}}$(*号是由于此处使用了t = n – 1/2时刻的电流密度${{{j}}^{n - 1/2}}$代替 t = n时刻的电流密度${{j}}^n$, 从而导致等号左右两端时间步不匹配):

$${{v}}_{\rm{e}}^{n * } = \frac{{{q_{\rm{i}}}n_{\rm{i}}^n{{v}}_{\rm{i}}^n - {{{j}}^{n - 1/2}}}}{{en_{\rm{e}}^n}}.$$

(13)

计算t = n时刻的电场强度${{{E}}^{n*}}$:

$${{{E}}^{n * }} = - {{v}}_{\rm{e}}^{n * } \times {{{B}}^{n - 1/2}} - \frac{{\nabla {P_{\rm{e}}}}}{{en_{\rm{e}}^n}} + \frac{{{{{j}}^{n - 1/2}}}}{\sigma }.$$

(14)

使用t = n时刻的电场强度${{{E}}^{n*}}$推动磁感应强度从${{{B}}^{n - 1/2}}$到${{{B}}^{n *}}$:

$$\frac{{{{{B}}^{n * }} - {{{B}}^{n - {\rm{1/2}}}}}}{{\Delta t/2}} = - \nabla \times {{{E}}^{n * }}.$$

(15)

4)修正步. 使用t = n时刻的磁感应强度${{{B}}^{n*}}$计算电流密度${{{j}}^{n}}$:

$${{{j}}^{ {n}}} = \frac{1}{{{\mu _0}}}\nabla \times {{{B}}^{{\rm{n}} * }}.$$

(16)

计算t = n时刻的电子速度${{{v}}_{\rm e}^{n }}$:

$${{v}}_{\rm{e}}^n = \frac{{{q_{\rm{i}}}n_{\rm{i}}^n{{v}}_{\rm{i}}^n - {{{j}}^n}}}{{en_{\rm{e}}^n}}.$$

(17)

计算t = n时刻的电场强度${{{e}}^{n }}$:

$${{{E}}^n} = - {{v}}_{\rm{e}}^n \times {{{B}}^{n * }} - \frac{{\nabla {P_{\rm{e}}}}}{{en_{\rm{e}}^n}} + \frac{{{{{j}}^n}}}{\sigma }.$$

(18)

使用t = n时刻的电场强度${{{E}}^{n }}$推动磁感应强度从${{{B}}^{n - 1/2}}$到${{{B}}^{n + 1/2}}$:

$$\frac{{{{{B}}^{n + 1/2}} - {{{B}}^{n - 1/2}}}}{{\Delta t}} = - \nabla \times {{{E}}^n}.$$

(19)

5)更新离子速度. 首先使用t = n+1/2时刻的磁感应强度${{{B}}^{n + 1/2}}$计算电流密度${{{j}}^{n +1/2}}$:

$${{{j}}^{n + 1/2}} = \frac{1}{{{\mu _0}}}\nabla \times {{{B}}^{n + 1/2}}.$$

(20)

然后计算t = n+1/2时刻的电场强度${{{E}}^{(n + 1/2)*}}$ (*号是由于此处使用了t = n时刻的电子速度${{{v}}_{\rm e}^{n}}$):

$${{{E}}^{\left( {n + 1/2} \right) * }} = - {{v}}_{\rm{e}}^n \times {{{B}}^{n + 1/2}} - \frac{{\nabla {P_{\rm{e}}}}}{{en_{\rm{e}}^{n + 1/2}}} + \frac{{{{{j}}^{n + 1/2}}}}{\sigma }.$$

(21)

使用Boris算法更新离子速度从${{{v}}_{\rm i}^{n }}$到${{{v}}_{\rm i}^{n + 1}}$:

$$\begin{split} &{m_{\rm{i}}}\frac{{{{v}}_{\rm{i}}^{n + 1} - {{v}}_{\rm{i}}^n}}{{\Delta t}} = {q_{\rm{i}}}\Bigg( {{{E}}^{\left( {n + 1/2} \right) * }} \\ & \qquad + \frac{{{{v}}_{\rm{i}}^{n + 1} + {{v}}_{\rm{i}}^n}}{2} \times {{{B}}^{n + 1/2}} \Bigg) - \frac{{e{{{j}}^{n + 1/2}}}}{\sigma }. \end{split}$$

(22)

t = n时间步结束后, 离子速度、离子位置和磁感应强度的信息从(${{{v}}_{\rm i}^{n }}$, ${{{x}}_{\rm i}^{n - 1/2}}$, ${{{B}}^{n- 1/2}}$)更新到了(${{{v}}_{\rm i}^{n + 1}}$, ${{{x}}_{\rm i}^{n + 1/2}}$, ${{{B}}^{n + 1/2}}$), 仿真计算进入下一个时间步. 程序的执行框图如图2所示.

2.3   边界条件

对于阴极侧, 阴极斑点作为等离子体源, 其有效半径设置为R = 1 mm, 阴极侧除阴极斑点之外的区域设置为吸收边界. 计算区域阴极侧的电子温度设置为T_e = 2.5 eV, 离子温度为T_i = 0.5 eV, 离子初速度在轴向上分量v_i0, 离子初速度为1.0 × 10⁴ m/s, 离子平均电荷取Z_i = 1.85. 假定阴极斑点处电流密度j₀和离子密度n₀分布均匀, 满足如下条件:

$${j_0} = \frac{{{I_0}}}{{{\rm{\pi }}{R^2}}},$$

(23)

$${n_0} = \frac{{\gamma {j_0}}}{{{m_{\rm{i}}}{v_{{\rm{i}}0}}}},$$

(24)

式中: I₀是阴极斑点总电流; γ为电极侵蚀率, 取35 μg/C (电极选为纯铜触头); v_i0为离子初速度在轴向上的分量. 对于磁感应强度, 由阴极侧电流密度分布计算磁矢位$A$来给出其第一类边界条件:

$${\nabla ^2}{{A}} = - {\mu _{\rm{0}}}{{j}},$$

(25)

$${{B}} = \nabla \times {{A}}.$$

(26)

对于阳极侧, 假定其在现有条件下还不活跃, 没有向极板间喷射金属蒸气, 被看作是电流和粒子收集器. 整个阳极表面看作是一个等电位面, 在阳极和等离子体之间有一个阳极鞘层, 阳极鞘层的电压降用下式表示^[22]:

$$\nabla {\varphi _{{\rm{sh}}}} = - \frac{{{j}}}{\sigma } + \frac{{\nabla {P_{\rm{e}}}}}{{e{n_{\rm{e}}}}} + {{{v}}_{\rm{e}}} \times {{B}},$$

(27)

$${\varphi _{{\rm{sh}}}} = \frac{{{k_{\rm{B}}}{T_{\rm{e}}}}}{e}\ln \frac{{{j_{\rm{e}}}}}{{{j_{{\rm{th}}}}}},$$

(28)

$${j_{{\rm{th}}}} = - \frac{1}{4}e{n_{\rm{e}}}\sqrt {\frac{{8{k_{\rm{B}}}{T_{\rm{e}}}}}{{\pi {m_{\rm{e}}}}}},$$

(29)

式中: φ_sh表示阳极鞘层电压; j_th表示随机电子电流密度, 和电子温度相关; j_e表示电子电流密度.

3.   仿真结果

在本文中, 模拟区域大小为20 mm × 20 mm × 10 mm, 阴极和阳极分别位于z = 0和z = 10 mm处, 阴极斑点被设置在阴极中心, 外施纵向磁场在整个仿真区域中均匀分布.

三维空间的离子数密度分布如图3所示. 电弧电流为30 A, 无外施纵向磁场(B_z = 0 mT). 从图3可以看到, 等离子体射流在离开阴极斑点后呈锥形扩散状, 离子数密度从阴极到阳极逐渐减小, 且射流中心的离子数密度大于射流边缘处的离子数密度. 对于单阴极斑点的等离子体射流来说, 由于电荷电流较小, 所以其自生磁场对等离子体射流的影响较弱. 所以等离子体射流的形状受离子初始喷射角的影响较大.

由于在本文中只考虑了单个阴极斑点等离子体射流, 因此等离子体参数在x-z平面和y-z平面具有相同的对称分布, 因此在图4中仅展示了电流和自生磁场在x-z平面的分布. 在图4(a)中轴向电流的方向从阳极指向阴极, 由图3可知在等离子体射流从阴极向阳极运动的过程中, 作为电流载流体的等离子体横截面逐渐增大, 所以在图4(a)中可以观察到轴向电流密度从阴极到阳极逐渐减小. 值得注意的是, 等离子体射流电流密度分布可能与等离子体密度分布不同. 原因是等离子体密度分布主要和离子与电子的位置有关, 而电流密度的分布则主要受电子的漂移速度影响. 在真空电弧中, 由于电中性条件, 电子和离子的密度相同, 但是由于离子电流只占总电流的10%^[23], 因此从(8)式中可以计算得到电子的漂移速度约为离子的11倍.

图4(b)展示了方向与平板电极平行的等离子体射流自生环向磁场, 其方向遵守右手螺旋定则. 从图中可以看到磁场分布和等离子体射流的锥形分布相对应, 在轴线上(x = y = 0)自生磁感应强度为0, 并且磁感应强度从中轴线上到仿真区域的径向边界先上升后下降. 这是由于等离子体电流通道并未占据整个仿真区域, 所以自生磁感应强度的最大值出现在等离子体射流边缘处.

图5展示了电弧电流为30 A时不同外施纵向磁场强度(0, 25, 50, 75 mT)下离子数密度在x-z平面的分布. 从图中可以看出, 在同等电弧电流情况下, 随着纵向磁场强度的增加, 离子密度分布在径向的扩散变得越来越小, 射流形状逐渐由锥形被压缩成圆柱形. 这说明外施纵向磁场对离子的径向扩散有抑制作用, 随着纵向磁场磁感应强度的增加, 纵向磁场对等离子体射流的压缩效应越来越强.

图6展示了电弧电流为30 A时, 不同外施纵向磁场强度下轴线上(x = y = 0)从阴极到阳极的离子数密度变化. 从图6可以看到, 不同外施纵向磁场情况下, 离子数密度的最大值相同且均出现在阴极表面, 然后从阴极到阳极逐渐降低. 同时与图5相对应, 施加纵向磁场后, 离子径向扩散减少导致等离子体被压缩, 使得轴线上离子数密度升高. 并且外施纵向磁场越大, 轴线上离子数密度越高. 在阴极斑点附近(z = 0—0.5 mm), 离子数密度的变化趋势受纵向磁场的影响不明显.

图7展示了电弧电流为30 A时, 外施纵向磁场分别为0 mT和50 mT时, 离子沿x正方向的速度在x-z平面的相空间分布. 从图中的粒子分布可以看到, 在外施纵向磁场的作用下单阴极斑点等离子体射流沿径向的扩散减少, 说明外施纵向磁场对等离子体射流的扩散起到了很强的束缚作用, 这一现象和图5中的离子数密度分布相对应. 同时观察离子沿x方向的速度分布可以看出, 在外施纵向磁场的作用下, 离子沿径向速度的绝对值也因受到限制而变小.

图8展示了外施纵向磁场为75 mT时不同电弧电流大小 (30, 60, 90, 120 A)下离子数密度在x-z平面的分布. 从图中可以看到, 当外施纵向磁场强度不变时, 随着电弧电流的逐渐增大, 等离子体射流的形状逐渐从圆柱形变成锥形, 离子在径向上的扩散逐渐增多. 这说明对于单阴极斑点等离子体射流来说, 增大电弧电流可以抑制外施纵向磁场对于等离子体射流的压缩效应.

可以用轴线上阳极处离子密度和阴极处离子密度的比值来衡量外施纵向磁场对等离子体射流的压缩效应. 不同情况下阳极处离子数密度与阴极处离子数密度的比值如图9所示. 当无外施纵向磁场时, 等离子体射流的扩散不受影响, 不同电弧电流所对应的比值几乎相等. 在同等电弧电流情况下, 随着纵向磁场强度的增加, 轴线上阳极处离子数密度与阴极处离子数密度的比值也随之变大. 由于电弧电流相同时阴极处离子数密度一致(图6), 这说明阳极处离子数密度随着外施纵向磁场的增大而逐渐升高. 由此可知纵向磁场对等离子体射流的压缩效应会随着纵向磁场强度的增加而越来越强. 在同等外施纵向磁场情况下, 随着电弧电流的逐渐增大, 比值随之变小. 这说明电弧电流的升高会抑制纵向磁场对等离子体射流的压缩效应.

4.   讨　论

通过以上的仿真结果可以发现, 外施纵向磁场会压缩等离子射流, 抑制离子沿径向的扩散使得等离子体射流的扩散半径减小, 同时这种压缩效应不仅和外施纵向磁场的强度有关, 而且和电弧电流的自身大小有关. 该模拟结果和Wang^[11]在实验中观察到的现象一致. 在本节中, 我们从能量守恒的角度对外施纵磁对等离子体射流的压缩效应进行理论分析.

如图3所示, 离子从阴极斑点喷射出之后呈圆锥形扩散. 其轴向速度使其从阴极向阳极运动, 其径向速度使其向四周扩散. 在单阴极斑点等离子体射流情况下, 由于电弧电流较小, 所以可以忽略自生环向磁场对其的影响. 等离子体和磁场的总能量由3部分组成: 电子能量、离子能量、磁场能量. 其中电子能量主要由电子温度决定(在真空电弧中电子的热速度远大于其漂移速度), 假设电子温度不变, 则电子能量保持恒定. 离子能量由离子沿径向速度的动能和沿轴向速度的动能组成, 又由于外施纵向磁场对轴向速度没有影响, 可以认为离子的轴向速度在整个过程中保持不变. 所以等离子体射流在外施纵向磁场中的运动过程可以简化为离子的径向动能和等离子体磁场能量之间的相互转换过程. 对于阴极斑点附近一个长为Δz的等离子体圆柱(Δz取值极小), 由能量守恒可得:

$$\frac{1}{2}{M_0}{{v}}_{{\rm{r}}0}^2 + \frac{{{ {B}_{z}^2}}}{{2{\mu _0}}}\pi r_0^2\Delta z = \frac{1}{2}{M_0}{{v}}_{\rm{r}}^2 + \frac{{{{B}_{z}^2}}}{{2{\mu _0}}}{\rm{\pi }}{r^2}\Delta z,$$

(30)

$${M_0} = {n_0}{m_{\rm{i}}}{\rm{\pi }}r_0^2\Delta z,$$

(31)

式中, M₀为该等离子体圆柱的质量, v_r0为离子初始径向速度, r₀为阴极斑点半径, v_r为离子径向速度, r为等离子体射流半径. 从图7中可以发现, 在外施纵磁作用下, 离子的径向速度在阴极斑点附近最大. 随着等离子体射流的逐渐扩散, 等离子体射流半径逐渐增大, 离子的径向速度也逐渐变小. 所以当满足v_r = 0时, 等离子体射流半径r取到最大值. 将v_r = 0和(31)式代入(30)式可得:

$$\frac{{{r^2} - r_0^2}}{{r_0^2}} = \frac{{{\mu _0}{n_0}{m_{\rm{i}}}{{v}}_{{\rm{r}}0}^2}}{{{{B}_{z}^2}}}.$$

(32)

由于等离子体射流半径最大值r远大于阴极斑点半径r₀, 所以$r^2 - r_0^2 \approx r^2$. 由(32)式可得:

$$r \approx \frac{{\left| {{{{v}}_{{\rm{r}}0}}} \right|{r_0}}}{{\left| {{{{B}}_{{z}}}} \right|}}\sqrt {{\mu _0}{n_0}{m_{\rm{i}}}} .$$

(33)

将阴极斑点处离子密度n₀的表达式(24)式代入(33)式可得:

$$r \approx \frac{{\left| {{{{v}}_{{\rm{r}}0}}} \right|{r_0}}}{{\left| {{{{B}}_{{z}}}} \right|}}\sqrt {\frac{{{\mu _0}\gamma {j_0}}}{{{v_{{\rm{i}}0}}}}} .$$

(34)

从(34)式中可以发现等离子体射流半径的最大值r和外施纵向磁感应强度B_z的取值成反比, 体现为纵向磁场对等离子体射流有压缩效应, 当外施纵向磁场的强度值增大时, 等离子体射流的扩散半径会减小. 同时从(34)式中还可以发现, 在外施纵向磁场强度不变B_z的情况下, 电流密度j₀的增大可以减弱外施纵向磁场对等离子体射流的压缩效应, 该结论与仿真结果与图9相对应.

5.   结　论

本文基于三维混合等离子体仿真方法建立了外施纵向磁场下真空电弧等离子体射流仿真模型, 模型中将离子作为宏粒子考虑, 而电子作为无质量流体处理, 仿真计算了单阴极斑点等离子体射流在自生电磁场与外施纵向磁场共同作用下等离子体的分布运动状态. 仿真结果如下.

1)单阴极斑点等离子体射流在离开阴极斑点后呈锥形扩散至极板间, 离子密度从阴极到阳极快速下降. 在本文的仿真条件下(30 A ≤ I ≤ 120 A), 等离子体射流产生的自生磁场不会对等离子体射流本身产生显著的影响.

2)外施纵向磁场对等离子体射流的扩散有压缩效应. 在外施纵向磁场的作用下, 离子沿径向的运动受到抑制, 其径向速度变小导致等离子体射流的扩散半径变小, 同时使得沿轴线上的离子密度升高.

3)外施纵向磁场对等离子体射流的压缩效应与外施纵向磁场的强度值及等离子体射流自身的电流大小有关. 在等离子体射流自身电流大小不变的情况下, 当纵向磁场强度值逐渐增大时, 压缩效应逐渐增强; 在外施纵向磁场强度值不变的情况下, 当等离子体射流自身的电流逐渐变大时, 压缩效应逐渐减弱.

作者衷心感谢鞍山师范学院的王虹宇教授在计算方法方面的帮助.