Strain induced dislocation evolution at graphene grain boundary by three-mode phase-field crystal method

Gao Feng; Li Huan-Qing; Song Zhuo; Zhao Yu-Hong

doi:10.7498/aps.73.20241368

Abstract

Authors and contacts

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1. 引　言
2. TMF调控等离子体密度的三维模型
2.1 三维TMF产生模型
2.2 等离子体密度分布模型
3. 仿真结果与分析
3.1 等离子体的初始条件
3.2 TMF分布
3.3 等离子体密度分布
4. TMF对RAM-C飞行试验的电磁波衰减抑制效果分析
4.1 阶段1 (76.2—71.02 km)
4.2 阶段2 (61.57—47.55 km)
4.3 阶段3 (30.48 km)
4.4 阶段4 (25.01—21.34 km)
5. 结　论

References

Abstract

The evolution law and mechanism of grain boundary structure in the deformation process of graphene are of great significance for understanding the deformation behavior of graphene and optimizing its mechanical properties. In this work, single-layer graphene is taken as the research object and a double crystalline graphene model is established by using the three-mode phase-field crystal method, thereby in depth ascertaining the evolution mechanism of dislocations at small-angle symmetrical tilt grain boundaries in graphene under strain. In view of the relaxation and deformation process, the relationship between the number of multiple dislocations and the grain boundary angle of graphene is studied on an atomic scale, and the deformation and failure mechanism of double crystalline graphene under tensile load are revealed, and also discussed from the perspective of the free energy.It is found that, after relaxation, with the increase of grain boundary angle, the density of dislocations at the grain boundary decreases, and the number of specific types of dislocations (5|8|7 and 5|7 dislocations) increases. Under stress loading parallel to the grain boundary, the changes of free energy of the systems containing grain boundaries with different angles show the same trend: at first, they fall to the inflection point and then rise abnormally, and the dislocation behavior cannot effectively alleviate the stress concentration caused by continuous loading in the system, leading to failure finally.Under tensile load, the free energy changes of the systems are divided into four stages, they being stage (I), in which the dislocations at grain boundaries are slightly deformed but do not change their structure, stage (II), in which dislocations at the grain boundaries are transformed into 5|7 or 5|9 dislocation due to C—C bond fracture or rotation, and the dislocations that are “incompatible” have higher energy, making them more conducive to improving the tensile properties of graphene, stage (III), in which the 5|7 and 5|9 dislocations begin to fail, and the free energy shows a tendency to decrease significantly, and stage (IV), in which the double crystalline graphene systems are completely in failure. The system with a grain boundary angle of 10° exhibits the most substantial deduction in free energy in stages (I), (II), and (III), and possesses the highest overall tensile strength.This work contributes to understanding the micromechanical behavior of graphene on an atomic scale.

Keywords:

PACS:

07.55.Ge	(Magnetometers for magnetic field measurements)
07.55.Db	(Generation of magnetic fields; magnets)
85.35.Gv	(Single electron devices)
12.60.-i	(Models beyond the standard model)

Authors and contacts

1.
School of Materials Science and Engineering, North University of China, Taiyuan 030051, China
2.
Beijing Advanced Innovation Center for Materials Genome Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China
3.
Liaoning Laboratory of Materials, Institute of Materials Intelligence Technology, Shenyang 110004, China

Corresponding author: Zhao Yu-Hong, zhaoyuhong@nuc.edu.cn

Funds: Project supported by the National Natural Science Foundation of China (Grant Nos. 52074246, 52275390, 52205429, 52201146), the National Defense Basic Scientific Research Program of China (Grant No. JCKY2020408B002), the Key Research and Development Program of Shanxi Province, China (Grant No. 202102050201011), and the Guiding Local Science and Technology Development Projects by the Central Government (Grant Nos. YDZJSX2022A025, YDZJSX2021A027).

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1. 引　言

高超音速飞行器持续飞行或再入过程中与空气剧烈摩擦产生高温, 飞行器前部由于空气电离形成的等离子体鞘套会反射和吸收无线电信号, 造成无线电信号减弱或中断, 产生通信黑障的问题^[1-7]. 通信黑障会影响飞行器与地面的通信, 可能导致遥测和GPS信号丢失, 造成飞行器失控甚至坠毁等灾难性后果^[8]. 如今, 众多研究中已经提出很多种方法缓解通信黑障, 例如: 改变飞行器气动外形^[9]、喷洒亲电子物质^[10]、低温气体注入^[11,12]、太赫兹通信^[13]、磁场干预等. 改变飞行器气动外形能够减小等离子体鞘套厚度, 但也会降低飞行器载荷量, 增加气动加热; 喷洒亲电子物质或低温气体注入能够有效地削弱等离子体密度, 但是不适合长时间工作的飞行器, 因为飞行器所承载的亲电子物质或低温气体的重量有限; 太赫兹通信在理论上可以减少甚至消除通信黑障, 但受限于技术不够成熟, 存在大气传输损耗过大等一系列问题; 磁场干预法的一种是施加1 T以上的强磁场, 改变电磁波在等离子体鞘套中的传播特性, 但飞行器所携带的磁场产生装置重量超过500 kg^[14], 这限制了该方法的应用.

一些研究中提到了外加 ${\boldsymbol{E}} \times {\boldsymbol{B}}$ 场、脉冲磁场和行波磁场等磁场, 能够在减小磁场强度的同时达到调控等离子体密度的目的. Keidar 等^[15]提出了利用电场和磁场正交( ${\boldsymbol{E}} \times {\boldsymbol{B}}$ 场)的方法调控等离子体密度. Kim 等^[16]基于流体力学理论, 完善了 ${\boldsymbol{E}} \times {\boldsymbol{B}}$ 场调控等离子体密度的模型. Guo等^[17]建立了三维 ${\boldsymbol{E}} \times {\boldsymbol{B}}$ 场模型, 推导了三维等离子体密度分布模型, 通过开展仿真和实验验证了 ${\boldsymbol{E}} \times {\boldsymbol{B}}$ 场能够有效地调控等离子体密度. 但是在维持电场过程中, 电极暴露在飞行器外部, 被高温气体腐蚀, 最终导致失效. Stenzel和Urrutia^[18]在金属棒上通入一定周期的脉冲电流, 并将其置于等离子体周围, 发现等离子体被周期性排开. Liu等^[19]建立了一维轴对称模型来研究线性递减的磁场对等离子体的调控作用, 这种磁场本质上是脉冲磁场的下降阶段, 且原理与脉冲磁场一致. Xu等^[20]模拟了脉冲磁场上方等离子体的三维分布情况, 研究发现脉冲磁场能够排开线圈上方的等离子体, 但每个周期下能够维持通讯的时间只有62%.

Zhou等^[14]提出了利用行波磁场(traveling magnetic field, TMF)来减小磁场强度, 对均匀等离子体施加了Z方向的TMF进行一维分析, 以达到调控等离子体密度的目的. TMF是行进中的正弦磁场, 通过在TMF发生器中通入三相交流电产生, 其原理与直线电机类似. 当TMF产生时, 等离子体会被TMF约束并随着TMF的行进而被推至飞行器前端, 进而在尾部持续产生低密度区域. Han等^[21]分析了TMF对非均匀时变等离子体的影响. Guo 等^[22]改进了TMF产生模型, 利用自感应电流来削弱等离子体密度, 但他们对磁场和等离子体密度的分析依然是一维的. 事实上, 磁场和等离子体的分布应当是三维的, 仅研究一维TMF对等离子体密度的影响无法得到空间中等离子体的密度分布, 且无法准确分析等离子体中的电磁传播特性, 难以衡量对电磁波衰减的抑制效果. 因此, 本文建立了三维TMF产生模型, 基于磁流体动力学理论推导了TMF作用区域下的非均匀等离子体的三维密度分布模型(第2节), 对等离子体密度分布进行了仿真和分析(第3节), 利用RAM-C飞行试验的数据分析了TMF对电磁波衰减的抑制效果, 并与静磁场进行了对比(第4节).

2. TMF调控等离子体密度的三维模型

TMF产生装置位于飞行器表面下方, 用于产生沿X轴正方向行进的三维TMF. 等离子体受电磁力F的影响沿X轴负方向移动, 在尾部产生一个等离子体密度降低的区域, 相当于打开了一个“通信窗口”. TMF削弱等离子体密度的三维模型示意图如图1所示.

$图 1 TMF调控等离子体密度的三维模型示意图\r\nFig. 1. Schematic of the three-dimensional model of the plasma density regulated by TMF$

图 1 TMF调控等离子体密度的三维模型示意图

Fig. 1. Schematic of the three-dimensional model of the plasma density regulated by TMF

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为了简化模型, 这里做出一些假设: 1) 忽略等离子体的电离反应^[23]; 2) 等离子体被认为是准中性的^[24]; 3) 离子在流场中是冷的, 电子温度恒定^[25]; 4) 忽略等离子体电流产生的感应磁场. 这是合理的, 因为等离子体的磁雷诺数很低, 产生的感应磁场远远低于TMF.

2.1 三维TMF产生模型

传统的TMF产生装置通常利用交流电通入重叠的绕组产生合成磁场, 但存在绕制繁琐、端部产生的磁场波形失真严重等问题^[21]. 图2展示了新型TMF产生装置结构图. 每个磁芯单元由一个U型磁体和缠绕在极性两端的多匝线圈组成, U型磁体长和高为52 mm, 宽10 mm, 槽深30 mm, 槽宽10 mm, 共8个磁芯单元组成了四相TMF产生装置, 每个磁芯单元的间隔为20 mm.

$图 2 TMF产生装置结构图\r\nFig. 2. Structural diagram of TMF generator$

图 2 TMF产生装置结构图

Fig. 2. Structural diagram of TMF generator

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该装置具有绕制简单、无端部波形失真、可延拓等优点. 每两组磁体单元分别构成A, B, C和 D相, 施加的电流可以被表示为

$\begin{array}{*{20}{l}} \left\{ \begin{aligned} & {\rm{A: }}\; I_1 = I_ {\rm{m}} \sin(\omega t), \\ & {\rm{B: }}\; I_2 = I_ {\rm{m}} \sin(\omega t + 0.5 \pi), \\ & {\rm{C: }}\; I_3 = I_ {\rm{m}} \sin(\omega t + \pi), \\ & {\rm{D: }}\; I_4 = I_ {\rm{m}} \sin(\omega t + 1.5\pi) , \end{aligned} \right. \end{array}$

(1)

其中, $I_ {\rm{m}}$ 为通入电流的幅值, ω为角频率.

由TMF产生装置产生的电场和磁场可以由麦克斯韦方程组推导:

$\begin{array}{*{20}{l}} \nabla\times{\boldsymbol{H}} = {\boldsymbol{J}}_{\mathrm{coil}}, \end{array}$

(2)

$\nabla\times {\boldsymbol{E}} = -\mu_0\frac{\partial {\boldsymbol{H}}}{\partial t},$

(3)

$\nabla\cdot {\boldsymbol{H}} = 0 ,$

(4)

$\nabla\cdot {\boldsymbol{E}} = 0,$

(5)

其中, ${\boldsymbol{E}}$ 为电场强度, 磁通密度 ${\boldsymbol{B}}$ 可以由本构关系 ${\boldsymbol{B}} = \mu_0 {\boldsymbol{H}}$ 推出, ${\boldsymbol{J}}_{ \rm{coil}}$ 为线圈电流密度, $\mu_0$ 为空间中的磁导率. 由于等离子体是准中性的, 所以省略位移电流. 为了能够计算出空间中的电磁场分布, 引入磁矢势 ${\boldsymbol{A}}$ :

$\left. \begin{aligned} & {\boldsymbol{B}} = \nabla \times {\boldsymbol{A}}, \qquad {\boldsymbol{E}} = -\frac{\partial {\boldsymbol{A}}}{\partial t} . \end{aligned} \right.$

(6)

那么只需要求解磁矢势 ${\boldsymbol{A}}$ 在空间中的分布, 即可得到空间中的电磁场分布. 空间中任意一点的磁矢势 ${\boldsymbol{A}}$ 应该由所有矩形线圈决定. 下面分析一个矩形线圈在空间中一点产生的磁矢势.

假设电流是顺时针方向的, 以矩形线圈的重心为原点, 建立空间直角坐标系如图3所示. 流过线圈的电流密度可以写为

$图 3 矩形线圈的空间直角坐标系\r\nFig. 3. Spatial cartesian coordinate system for rectangular coil$

图 3 矩形线圈的空间直角坐标系

Fig. 3. Spatial cartesian coordinate system for rectangular coil

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${\boldsymbol{J}}_{ \rm{coil}} = {NI_{ \rm{coil}}}/{A_{ \rm{coil}}},$

(7)

其中, N为线圈匝数, $I_{ \rm{coil}}$ 为线圈电流, $A_{ \rm{coil}}$ 为线圈横截面积. 设空间中任意一点为 $(x, y, z)$ , 源点为 $(x^\prime, y^\prime, z^\prime)$ . 根据磁矢势的泊松方程:

${\boldsymbol{A}} = \frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\frac {{\boldsymbol{J}}_{ \rm{coil}} }R {\rm{d}}V^{\prime}+C,$

(8)

其中, $R = \sqrt{\left(x-x^{\prime}\right)^2+\left(y-y^{\prime}\right)^2+\left(z-z^{\prime}\right)^2}$ , C为常矢量, 其存在不会影响 ${\boldsymbol{B}}$ . 那么区域1在 $(x, y, z)$ 产生的磁矢势可以被计算为

$\begin{split} & {\boldsymbol{A}}_{11} = \frac{\mu_0NI_{ \rm{coil}}}{4\pi A_{ \rm{coil}}}\int_{-0.005}^{0.005} {\rm{d}}z'\int_{-0.0145}^{-0.0105} {\rm{d}}y'\int_{-y'+0.0055}^{y'+0.0055}\frac{1}{R} {\rm{d}}x' \\ = \; &\frac{\mu_0NI_{ {\rm{coil}}}}{4\pi A_{ {\rm{coil}}}}\int_{-0.005}^{0.005} {\rm{d}}z'\int_{-0.0145}^{-0.0105}\ln \bigg|\frac{(x+y'-0.0055)+\sqrt{(x+y'-0.0055)^2 +(y-y')^2+(z-z')^2}}{(x-y'-0.0055)+\sqrt{(x-y'-0.0055)^2+(y-y')^2+(z-z')^2}} \bigg| {\rm{d}}y' ; \end{split}$

(9)

区域2所产生的磁矢势可以被计算为

$\begin{split} & {\boldsymbol{A}}_{12} = \frac{\mu_0NI_{ {\rm{coil}}}}{4\pi A_{ {\rm{coil}}}}\int_{0.005}^{0.009} {\rm{d}}x'\int_{-0.005}^{0.005} {\rm{d}}z'\int_{-x'-0.0055}^{x'-0.0055}\frac{1}{R} {\rm{d}}y' \\ = \;&\frac{\mu_0NI_{ {\rm{coil}}}}{4\pi A_{ {\rm{coil}}}}\int_{0.005}^{0.009} {\rm{d}}x^{\prime}\int_{-0.005}^{0.005}\ln \bigg|\frac{(y+x^{\prime}-0.0055)+\sqrt{(x-x^{\prime})^2+(y+x^{\prime}-0.0055)^2+(z-z^{\prime})^2}}{(y-x^{\prime}+0.0055)+\sqrt{(x-x^{\prime})^2+(y-x^{\prime}+0.0055)^2+(z-z^{\prime})^2}} \bigg| {\rm{d}}z^{\prime} . \end{split}$

(10)

对()式和()式使用复化梯形法即可对该积分近似求解. 同理, 可以得到区域3和区域4的磁矢势 ${\boldsymbol{A}}_{13}$ 和 ${\boldsymbol{A}}_{14}$ .

定义运算:

$\begin{array}{*{20}{l}} {\boldsymbol{f}}_{ {\rm{opera}} } = {\boldsymbol{\varepsilon}}[{\boldsymbol{a}}_1,{\boldsymbol{a}}_2,\cdots,{\boldsymbol{a}}_n] ,\end{array}$

(11)

其中, ${\boldsymbol{a}}_1, {\boldsymbol{a}}_2, \cdots, {\boldsymbol{a}}_n$ 表示n个任意非零向量. 该运算的意义为在空间中对n个向量合成. 利用(11)式对4个区域的磁矢势进行合成:

${\boldsymbol{A}}_{1} = \boldsymbol\varepsilon[{\boldsymbol{A}}_{11},{\boldsymbol{A}}_{12},{\boldsymbol{A}}_{13},{\boldsymbol{A}}_{14}],$

(12)

得到一个线圈在 $(x, y, z)$ 处的磁矢势 ${\boldsymbol{A}}_{1}$ . 同理, 根据上面的计算方法, 可以得到n个线圈在 $(x, y, z)$ 处的磁矢势:

$\begin{array}{*{20}{l}} {\boldsymbol{A}} = \boldsymbol\varepsilon[{\boldsymbol{A}}_{1},{\boldsymbol{A}}_{2},\cdots,{\boldsymbol{A}}_{n}]. \end{array}$

(13)

通过求解空间中的磁矢势分布, 代入(6)式即可得到空间中的电磁场分布.

2.2 等离子体密度分布模型

基于流体力学理论和电磁场理论, 可以建立三维等离子体密度分布方程. 流场的控制方程可以由质量守恒方程和动量方程描述:

$\frac{\partial n_\alpha}{\partial t}+\nabla\cdot(n_\alpha {\boldsymbol{V}}_\alpha) = 0,$

(14)

$\begin{split} &n_\alpha m_\alpha \left[\frac{\partial {\boldsymbol{V}}_\alpha}{\partial t}+({\boldsymbol{V}}_\alpha\cdot\nabla){\boldsymbol{V}}_\alpha \right ] \\ = \;&-\nabla n_\alpha\cdot kT_\alpha+\eta\nabla \left [\nabla\cdot {\boldsymbol{V}}_\alpha+(\nabla\cdot {\boldsymbol{V}}_\alpha)^ {\rm{T}} \right]\\ &-\frac{2}{3}\eta\nabla(\nabla\cdot {\boldsymbol{V}}_\alpha)+q_\alpha n_\alpha({\boldsymbol{E}}+{\boldsymbol{V}}_\alpha\times {\boldsymbol{B}}) \\ &-\nu_{\alpha{\rm{n}}}n_\alpha m_\alpha {\boldsymbol{V}}_\alpha , \end{split}$

(15)

其中, α = i, e表示离子角标和电子角标, $n_\alpha$ 表示离子或电子的密度, ${\boldsymbol{V}}_\alpha$ 表示离子或电子的速度, $m_\alpha$ 表示离子或电子的质量, 且计算中的离子采用氩离子, k为玻尔兹曼常数, $T_\alpha$ 表示离子或电子的温度, η为动力黏度, $\nu_{\alpha {\rm{n}}}$ 为离子或电子与中性粒子的碰撞频率. 由于离子质量与电子质量相差3个数量级, 所以忽略电子的惯性项和黏性项. 根据准中性假设, 电子密度等于离子密度, 即 $n_ {\rm{i}}\approx n_ {\rm{e}} = n$ . 将(15)式写为离子形式和电子形式为

$\begin{split} & nm_{ {\rm{i}}}\left [\frac{\partial {\boldsymbol{V}}_{ {\rm{i}}}}{\partial t}+({\boldsymbol{V}}_{ {\rm{i}}}\cdot\nabla){\boldsymbol{V}}_{ {\rm{i}}}\right]\\ = \;&-\nabla n\cdot kT_ {\rm{i}}+\eta\nabla \left[\nabla\cdot {\boldsymbol{V}}_ {\rm{i}}+(\nabla\cdot {\boldsymbol{V}}_ {\rm{i}})^ {\rm{T}}\right]\\ &-\frac{2}{3}\eta\nabla(\nabla\cdot {\boldsymbol{V}}_ {\rm{i}}) +en({\boldsymbol{E}}+{\boldsymbol{V}}_ {\rm{i}}\times {\boldsymbol{B}}) \\ & -\nu_{ {\rm{in}}}nm_ {\rm{i}}{\boldsymbol{V}}_ {\rm{i}} , \end{split}$

(16)

$\begin{split} 0 =\;& -\nabla n\cdot kT_ {\rm{e}}-en({\boldsymbol{E}}+{\boldsymbol{V}}_ {\rm{e}}\times {\boldsymbol{B}}) \\ & -\nu_{ {\rm{en}}}nm_ {\rm{e}}{\boldsymbol{V}}_ {\rm{e}}. \end{split}$

(17)

将(16)式与(17)式相加, 代入电流密度与粒子速度的关系方程:

$\begin{array}{*{20}{l}} {\boldsymbol{J}} = en({\boldsymbol{V}}_ {\rm{i}}-{\boldsymbol{V}}_ {\rm{e}}), \end{array}$

(18)

得到的动量方程为

$\begin{split} &\qquad nm_{ {\rm{i}}}\left [\frac{\partial {\boldsymbol{V}}_{ {\rm{i}}}}{\partial t}+({\boldsymbol{V}}_{ {\rm{i}}}\cdot\nabla){\boldsymbol{V}}_{ {\rm{i}}}\right]\\ & = -\nabla n\cdot kT_ {\rm{e}}+\eta\nabla \left[\nabla\cdot {\boldsymbol{V}}_ {\rm{i}}+(\nabla\cdot {\boldsymbol{V}}_ {\rm{i}})^ {\rm{T}} \right]\\ &~ -\frac23\eta\nabla(\nabla \cdot {\boldsymbol{V}}_ {\rm{i}}) + {\boldsymbol{J}} \times {\boldsymbol{B}}-\nu_{ {\rm{en}}}nm_ {\rm{e}}\Big({\boldsymbol{V}}_ {\rm{i}}-\frac{{\boldsymbol{J}}}{en}\Big), \end{split}$

(19)

其中, 电子温度远远大于离子温度, 所以近似为 $T_ {\rm{e}}$ . 根据冷等离子体模型的假设, 这里还忽略了离子的碰撞频率^[17]. ${\boldsymbol{J}}\times {\boldsymbol{B}}$ 表示的是电磁力, 是驱动等离子体的主要力项. ${\boldsymbol{J}}$ 还可以表示为

$\begin{array}{*{20}{l}} {\boldsymbol{J}} = {\boldsymbol{\sigma}}({\boldsymbol{E}}+{\boldsymbol{V}}_ {\rm{i}}\times {\boldsymbol{B}}), \end{array}$

(20)

其中 ${\boldsymbol{E}}$ 为时变磁场产生的感应电场, ${\boldsymbol{V}}_ {\rm{i}} \times {\boldsymbol{B}}$ 表示具有一定速度的等离子体切割磁感线产生的感应电场, ${\boldsymbol{\sigma}}$ 为等离子体的电导率. 在磁场条件下, 等离子体的电导率 ${\boldsymbol{\sigma}}$ 是各向异性的, 表示为电导率的张量形式^[26]:

$\begin{split} &{\boldsymbol{\sigma}} = \frac{ne^2/m_ {\rm{e}}}{({\mathrm{j}}\omega+\nu_{ {\rm{en}}})[({\mathrm{j}}\omega+\nu_{ {\rm{en}}})^2+\omega_ {\rm{b}}]}\\ & \times\begin{bmatrix} ({\mathrm{j}}\omega + \nu_{ {\rm{en}}})^2&-\omega_ {\rm{b}}({\mathrm{j}}\omega + \nu_{ {\rm{en}}})&0\\\omega_ {\rm{b}}({\mathrm{j}}\omega+\nu_{ {\rm{en}}})&({\mathrm{j}}\omega+\nu_{ {\rm{en}}})^2&0\\0&0&({\mathrm{j}}\omega + \nu_{ {\rm{en}}})^2 + \omega_ {\rm{b}} \end{bmatrix}, \\ \end{split}$

(21)

其中, $\omega_ {\rm{b}} = e{\boldsymbol{B}}/m_ {\rm{e}}$ 为电子回旋角频率. 为了方便表示, 引入

$\begin{array}{*{20}{l}} \left\{ \begin{aligned} &\sigma_1 = {\mathrm{j}}\frac{ne^2({\mathrm{j}}\nu_{ {\rm{en}}}-\omega)}{m_ {\rm{e}}[\left(\omega-{\mathrm{j}}\nu_{ {\rm{en}}}\right)^2-\omega_ {\rm{b}}^2]},\\ &\sigma_2 = {\mathrm{j}}\frac{-ne^2\omega_ {\rm{b}}}{m_ {\rm{e}}[\left(\omega-{\mathrm{j}}\nu_{ {\rm{en}}}\right)^2-\omega_ {\rm{b}}^2]},\\ &\sigma_3 = {\mathrm{j}}\frac{ne^2}{m_ {\rm{e}}(\omega-{\mathrm{j}}\nu_{ {\rm{en}}})}. \end{aligned} \right. \end{array}$

(22)

把(22)式代入(21)式得到电导率张量的简化形式:

${\boldsymbol{\sigma}} = \begin{bmatrix}\sigma_1&{\mathrm{j}}\sigma_2&0\\-{\mathrm{j}}\sigma_2&\sigma_1&0\\0&0&\sigma_3 \end{bmatrix}.$

(23)

根据()式和()式, 电流密度 ${\boldsymbol{J}}$ 还可以表示为

$\begin{array}{*{20}{l}} \begin{cases} J_x = \sigma_1E_x^{\prime}+\sigma_2E_{{\mathrm{j}}y}^{\prime},\\ J_y = \sigma_1E_y^{\prime}-\sigma_2E_{{\mathrm{j}}x}^{\prime},\\ J_z = \sigma_3E_z^{\prime} ,\end{cases} \end{array}$

(24)

其中, $E_x^\prime, E_y^\prime, E_z^\prime$ 分别表示3个方向上的 $({\boldsymbol{E}} + {\boldsymbol{V}}_{ {\rm{i}}}\times {\boldsymbol{B}})$ 项, $E_{{\mathrm{j}}x}^\prime, E_{{\mathrm{j}}y}^\prime$ 表示X方向和Y方向上的 ${\mathrm{j}}({\boldsymbol{E}} + {\boldsymbol{V}}_{ {\rm{i}}}\times {\boldsymbol{B}})$ 项.

由于等离子体雷诺数较低, 所以离子的黏性力不可忽略, 黏性力项可以简化为

$\begin{split} & \eta\nabla \left[\nabla\cdot {\boldsymbol{V}}_ {\rm{i}}+(\nabla\cdot {\boldsymbol{V}}_ {\rm{i}})^ {\rm{T}}\right]-\frac23\eta\nabla(\nabla\cdot {\boldsymbol{V}}_ {\rm{i}})\\ = \;&\eta\left[\frac13\nabla^2{\boldsymbol{V}}_ {\rm{i}}+\nabla(\nabla\cdot {\boldsymbol{V}}_ {\rm{i}})^ {\rm{T}}\right]. \end{split}$

(25)

根据(14)式, (19)式, (24)式和(25)式, 可以得到3个方向的控制方程:

$\begin{array}{*{20}{l}} \left\{ \begin{aligned} &\frac{\partial n}{\partial t}+n\left(\frac{\partial V_{x}}{\partial x}+\frac{\partial V_{y}}{\partial y}+\frac{\partial V_{z}}{\partial z}\right) = 0,\\ &nm_{ {\rm{i}}}\left[\frac{\partial V_{x}}{\partial t}+(V_{x}\cdot\nabla)V_{x}\right] = -\nabla n\cdot kT_{ {\rm{e}}}+\eta\left[\frac{1}{3}\nabla^{2}V_{x}+\nabla(\nabla\cdot V_{x})^ {\rm{T}}\right]\\ &\qquad+( \sigma_{1}E_{y}'-\sigma_{2}E_{{\mathrm{j}}x}') B_{z}-\sigma_{3}E_{z}'B_{y}-\nu_{ {\rm{en}}}nm_{ {\rm{e}}} \left[V_{x}-\frac{\sigma_{1}E_{x}'+\sigma_{2}E_{{\mathrm{j}}y}'}{en}\right],\\ &nm_{ {\rm{i}}}\left[\frac{\partial V_{y}}{\partial t}+(V_{y}\cdot\nabla )V_{y}\right] = -\nabla n\cdot kT_{ {\rm{e}}}+\eta\left[\frac{1}{3}\nabla^{2}V_{y}+\nabla(\nabla\cdot V_{y})^ {\rm{T}}\right]\\ &\qquad+\left( \sigma_{1}E_{x}'+\sigma_{2}E_{{\mathrm{j}}y}'\right) B_{z}-\sigma_{3}E_{z}'B_{x}-\nu_{ {\rm{en}}}nm_{ {\rm{e}}}\left(V_{y}-\frac{\sigma_{1}E_{y}'-\sigma_{2}E_{{\mathrm{j}}x}'}{en}\right),\\ &nm_{ {\rm{i}}}\left[\frac{\partial V_{z}}{\partial t}+(V_{z}\cdot \nabla)V_{z}\right] = -\nabla n\cdot kT_{ {\rm{e}}}+\eta\left[\frac{1}{3}\nabla^{2}V_{z}+\nabla(\nabla\cdot V_{z})^ {\rm{T}}\right]\\ &\qquad+( \sigma_{1}E_{x}'+\sigma_{2}E_{{\mathrm{j}}y}')B_{y}-( \sigma_{1}E_{y}'-\sigma_{2}E_{{\mathrm{j}}x}') B_{x}-\nu_{ {\rm{en}}} nm_{ {\rm{e}}}\left(V_{z}-\frac{\sigma_{3}E_{z}'}{en}\right), \end{aligned} \right. \end{array}$

(26)

其中, 动力黏度η为常量, 数值与离子的属性有关; 电子碰撞频率(以下简称碰撞频率) $\nu_{ {\rm{en}}}$ 为设定的初始值; 离子质量 $m_ {\rm{i}}$ 为氩离子的质量; 磁通密度 ${\boldsymbol{B}}$ 和电场强度 ${\boldsymbol{E}}$ 可以通过(6)式计算得到. 因此, ()式中要求解的变量只有等离子体密度n和速度 ${\boldsymbol{V}}_\alpha$ . 通过求解(26)式中的方程组, 即可得到空间中的等离子体密度分布.

3. 仿真结果与分析

本文使用COMSOL Mutiphysics对所提出的模型进行建立和求解. 所建立的模型如所示. 设置等离子体区域下表面为壁条件, 其他表面为开放边界. TMF产生装置中磁体的磁导率设为2300, 线圈材料为铜, 匝数为100匝, 设置模型周围球体为无限元域(已隐藏). 求解配置中, 选择线圈几何分析和瞬态分析, 利用PARDISO求解器进行求解. 求解过程为: 首先根据设置的电流计算磁矢势 ${\boldsymbol{A}}$ , 再将 ${\boldsymbol{A}}$ 代入()式中得到磁通密度 ${\boldsymbol{B}}$ 和电场 ${\boldsymbol{E}}$ 的分布; 随后将 ${\boldsymbol{B}}$ 和 ${\boldsymbol{E}}$ , 以及等离子体的初始条件代入(26)式中3个方向的控制方程, 再联立质量守恒方程得到新的等离子体密度n; 接下来将等离子体密度n, 磁通密度 ${\boldsymbol{B}}$ 和电场 ${\boldsymbol{E}}$ 作为下一时刻的初始状态代入重复计算, 即可得到空间中等离子体密度的演化结果.

$图 4 仿真模型示意图\r\nFig. 4. Schematic diagram of the simulation model$

图 4 仿真模型示意图

Fig. 4. Schematic diagram of the simulation model

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3.1 等离子体的初始条件

为了便于分析, 首先以71 km高度处等离子体鞘套的典型参数作为仿真的初始参数^[27]. 根据RAM-C的数据, 71 km高度处等离子体密度的最大值为 $1 \times 10^{17} \;{\rm{m}}^{-3}$ , 电子温度的最大值约为1.5 eV, 所以设置初始等离子体密度为 $1\times10^{17} \;{\rm{m}}^{-3}$ , 等离子体电子温度为1.5 eV.

数据表明^[28], 飞行器表面的等离子体密度可以用双高斯分布来描述:

$\begin{array}{*{20}{l}} N_0 = \begin{cases} n_0 {\rm{e}}^{-a_1(z-z_ {\rm{p}})^2},&\quad0\leqslant z\leqslant z_ {\rm{p}}, \\ n_0 {\rm{e}}^{-a_2(z-z_ {\rm{p}})^2},&\quad{Z > Z}_ {\rm{p}}, \end{cases} \end{array}$

(27)

其中, $n_0$ 表示等离子体初始密度的峰值, $a_1$ , $a_2$ 表示等离子体密度上升段和下降段梯度, $z_ {\rm{p}}$ 表示等离子体密度峰值的位置. 初始等离子体密度分布如图5所示.

$图 5 初始等离子体密度分布　(a)等离子体密度沿Z轴的一维分布; (b)等离子体密度在空间中的三维分布\r\nFig. 5. Initial plasma density distribution: (a) One-dimensional distribution of plasma density along the Z-axis; (b) three-dimensional distribution of plasma density in space$

图 5 初始等离子体密度分布　(a)等离子体密度沿Z轴的一维分布; (b)等离子体密度在空间中的三维分布

Fig. 5. Initial plasma density distribution: (a) One-dimensional distribution of plasma density along the Z-axis; (b) three-dimensional distribution of plasma density in space

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等离子体密度分布计算的初始条件设置为: 初始等离子体密度 $n_0 = 1\times10^{17} \;{\rm{m}}^{-3}$ , 等离子体鞘套厚度为0.1 m, 背景气体温度为5000 K, 电子温度为1.5 eV, 气压4 Pa, 碰撞频率为 $1\times10^{7}$ Hz. 施加电流大小为200 A, 行波速度600 m/s, 计算时间为 $1\times10^{-3}$ s.

3.2 TMF分布

在TMF产生装置中施加幅值不同的电流会在空间中产生大小不同的磁通密度. 图6(a)展示了分别通入幅值不同的电流时, 磁通密度最大值随时间的变化. 可以看出电流与磁通密度基本符合正相关的关系. 图6(b)展示了当施加电流为200 A时, 磁通密度最大值与距离飞行器表面的高度的关系. 由于TMF的本质是行进的正弦磁场(T = 1.3 × 10^–4 s), 所以每经过半个周期, 磁通密度的方向都会发生改变.

$图 6 磁通密度大小与分布　(a)磁通密度随电流变化的曲线; (b)磁通密度最大值与距离飞行器表面的高度的关系\r\nFig. 6. Magnitude and distribution of magnetic flux density: (a) Curve of flux density as a function of current; (b) flux density maximum as a function of height from the surface of the vehicle$

图 6 磁通密度大小与分布　(a)磁通密度随电流变化的曲线; (b)磁通密度最大值与距离飞行器表面的高度的关系

Fig. 6. Magnitude and distribution of magnetic flux density: (a) Curve of flux density as a function of current; (b) flux density maximum as a function of height from the surface of the vehicle

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通信窗口处等离子体密度的削弱是由TMF产生和维持的, 因此, 磁场分布对于等离子体密度分布和演化具有重要意义. 图7(a)和分别展示了t = $5\times10^{-4}$ s时刻空间中 $XOY$ 截面(Z = 25 mm)以及 $XOZ$ 截面(Y = 50 mm)的磁通密度分布, 黑色箭头和红色箭头分别代表X方向和Z方向的磁通密度. 为了得到通信窗口处的磁通密度分布和变化趋势, 在图7(a)和图7(b)中的通信窗口处取(175, 50, 25)来分析磁通密度变化趋势(Z = 25 mm为等离子体密度最大值的高度). 图7(c)展示了该点处的磁通密度变化曲线, 可以看出X和Z方向的磁通密度分量远大于Y方向. 这是因为每个矩形线圈都是横向放置, 所以会产生较大的Z方向磁通密度; 而X方向的磁通密度分量则是由TMF的行进特性得到.

$图 7 磁通密度在空间中的分布　(a) XOY截面; (b) XOZ截面; (c) (175, 50, 25)处磁通密度随时间变化的曲线\r\nFig. 7. The distribution of magnetic flux density in space: (a) XOY section; (b) XOZ section; (c) curve of magnetic flux density as a function of time at (175, 50, 25)$

图 7 磁通密度在空间中的分布　(a) XOY截面; (b) XOZ截面; (c) (175, 50, 25)处磁通密度随时间变化的曲线

Fig. 7. The distribution of magnetic flux density in space: (a) XOY section; (b) XOZ section; (c) curve of magnetic flux density as a function of time at (175, 50, 25)

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TMF对等离子体密度的调控作用主要由电磁力F提供, 所以研究磁通密度在空间中的分布的同时也应当关注电磁力的分布. 图8展示了电流为200 A和行波速度为600 m/s时, (175, 50, 25)处电磁力随时间的变化趋势. 其中, X方向的正向电磁力是推动等离子体向飞行器前端运动的主要作用力, 而Z方向负的电磁力能够驱散飞行器表面的等离子体, 起辅助作用. 由于线圈通电时电场变化剧烈, 使Z方向的电磁力在通电瞬间达到200 $\ {\rm{N}}/{\rm{m}}^3$ . 此外, 电磁力的幅值还会随着时间逐渐减小并趋于稳定. 这是因为电磁力与等离子体密度成正比, 在等离子体密度随时间减小后, 电磁力也会随之减小.

$图 8 电磁力随时间变化的曲线\r\nFig. 8. Curve of electromagnetic force as a function of time$

图 8 电磁力随时间变化的曲线

Fig. 8. Curve of electromagnetic force as a function of time

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为了更好地展示电磁力作用于等离子体的方向性, 选取图8中4个具有明显特征的时间点进行电磁力的三维分析. 分别展示了4个时间点的电磁力方向示意图, 其箭头方向表示电磁力方向, 箭头的大小表示电磁力的相对高低. : $1\times10^{-6}$ s, TMF产生装置通电瞬间在通信窗口处产生极高的Z方向的负向电磁力. : $3\times10^{-5}$ s, X方向电磁力达到负向最大值, Z方向电磁力达到正向最大值. : $5\times10^{-5}$ s, Z方向的电磁力达到负向最大值, X方向的电磁力达到正向最大值, 这是驱动等离子体的主要时刻. : $1.2\times10^{-4}$ s, 各个方向的电磁力的值都到达了最小值, 通信窗口处几乎没有电磁力.

$图 9 4个时间点的电磁力大小和方向示意图　(a) $1\times10^{-6} \;{\mathrm{s}}$; (b)$3\times10^{-5} \;{\mathrm{s}} $; (c)$5\times10^{-5} \;{\mathrm{s}} $; (d)$1.2\times10^{-4} \;{\mathrm{s}} $\r\nFig. 9. Schematic representation of the magnitude and direction of the electromagnetic force at four points in time: (a)$1\times10^{-6} \;{\mathrm{s}} $; (b)$3\times10^{-5} \;{\mathrm{s}} $; (c)$ 5\times10^{-5} \;{\mathrm{s}} $; (d)$1.2\times10^{-4} \;{\mathrm{s}} $$

图 9 4个时间点的电磁力大小和方向示意图　(a)

$1\times10^{-6} \;{\mathrm{s}}$

; (b)

$3\times10^{-5} \;{\mathrm{s}}$

; (c)

$5\times10^{-5} \;{\mathrm{s}}$

; (d)

$1.2\times10^{-4} \;{\mathrm{s}}$

Fig. 9. Schematic representation of the magnitude and direction of the electromagnetic force at four points in time: (a)

$1\times10^{-6} \;{\mathrm{s}}$

; (b)

$3\times10^{-5} \;{\mathrm{s}}$

; (c)

$5\times10^{-5} \;{\mathrm{s}}$

; (d)

$1.2\times10^{-4} \;{\mathrm{s}}$

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3.3 等离子体密度分布

等离子体密度随时间演变的分布如所示. 左侧展示了 $XOY$ (Z = 25 mm)截面的等离子体密度分布, 右侧展示了等离子体区域 $XOZ$ (Y = 50 mm)截面的等离子体密度分布. 在 $0— 5\times 10^{-5}$ s时间内, 等离子体主要受X方向的正向电磁力的作用运动至飞行器前端, 从而在飞行器后端形成一个50 mm × 100 mm的通信窗口, 且通信窗口处的等离子体密度削弱效果最大为71%, 最小为48%. 在 $5\times10^{-5}$ s后, 通信窗口处的电磁力会随着等离子体密度的降低而减小, 最终电磁力和等离子体密度都将趋于稳定.

$图 10 等离子体密度随时间的变化趋势\r\nFig. 10. Trends in plasma density over time$

图 10 等离子体密度随时间的变化趋势

Fig. 10. Trends in plasma density over time

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为了得到等离子体密度在空间中具体的分布情况, 图11分别提取出了最终时刻等离子体密度沿不同方向上的变化曲线. 其中, 图11(a)表示等离子体密度取值示意图. 图11(b)为距离飞行器表面不同高度处等离子体密度沿X轴的变化曲线. 这与展示的等离子体 $XOZ$ 截面的密度分布一致. 图11(c)展示了沿Y方向提取等离子体密度的变化曲线. 可以看出飞行器前部的等离子体密度沿Y轴呈现中间高两侧低的分布, 而后端恰与其相反. 这是因为TMF产生装置位于等离子体区域下方Y = 25—75 mm的位置, 该位置产生的磁场强度和电磁力远大于两侧, 所以TMF对该位置的作用效果也优于两侧. 此外, 为了探究通信窗口处TMF对距离飞行器表面不同高度处的密度削弱效果, 图11(d)沿Z方向提取了等离子体密度的变化曲线. 可以看出在飞行器后端通信窗口处的等离子体密度沿Z方向分布较均匀, 密度梯度较小. 这主要是因为在Z方向和X方向电磁力的共同作用下, 使通信窗口处的等离子体密度被推离飞行器表面的同时也能被推向飞行器前端, 这表明TMF对距离飞行器表面较高的位置也能有较好的削弱效果.

$图 11 等离子体密度沿不同方向的取值示意图和变化曲线　(a)等离子体密度取值示意图; (b)沿X轴取值; (c)沿Y轴取值; (d)沿Z轴取值\r\nFig. 11. Schematic diagram of plasma density values along different directions: (a) Schematic diagram of plasma density taking values; (b) values along the X-axis; (c) values along the Y-axis; (d) values along the Z-axis$

图 11 等离子体密度沿不同方向的取值示意图和变化曲线　(a)等离子体密度取值示意图; (b)沿X轴取值; (c)沿Y轴取值; (d)沿Z轴取值

Fig. 11. Schematic diagram of plasma density values along different directions: (a) Schematic diagram of plasma density taking values; (b) values along the X-axis; (c) values along the Y-axis; (d) values along the Z-axis

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在飞行器飞行或再入过程中, 飞行器表面的等离子体鞘套密度会随飞行高度的改变而改变. 因此有必要研究不同初始密度下, TMF对等离子体密度的削弱效果. 展示了(175, 50, 25)处, 初始密度对等离子体密度削弱效果的影响. 其中, $n_0 = N_1, N_2, N_3$ 表示不同的初始密度, 固定其余初始条件一致. 可以看出, 随着初始密度的增加, 密度削弱效果随之增强. 在初始密度为 $1\times10^{17} \;{\rm{m}}^{-3}$ 时, 等离子体密度的削弱效果为67%; 当初始密度为 $1\times10^{18} \;{\rm{m}}^{-3}$ 时, 密度削弱效果能达到93%. 值得注意的是, 尽管削弱效果提高了, 但后者的密度基数更大, 削弱后的等离子体密度依然高于低密度的情况下削弱后的等离子体密度.

$图 12 初始密度对等离子密度削弱的影响\r\nFig. 12. Effect of initial density on plasma density reduction$

图 12 初始密度对等离子密度削弱的影响

Fig. 12. Effect of initial density on plasma density reduction

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飞行器在不同飞行高度下除了等离子体初始密度不同, 碰撞频率也存在较大变化. 展示了(175, 50, 25)处, 碰撞频率对密度削弱效果的影响. 从图中可以发现, 随着碰撞频率的增大, 密度削弱效果急剧降低. 其中当碰撞频率增加到 $5\times 10^7$ Hz时, 削弱效果由原来的67%降低到38%, 尤其是增加到 $5\times10^8$ Hz时, 削弱效果仅有5%. 这是因为动量方程中的碰撞项是影响等离子体驱动力的主要阻碍项, 这是导致密度削弱效果降低的主要原因. 同时, 碰撞频率还会通过改变等离子体的电导率来影响削弱效果: 在高碰撞频率的条件下, 碰撞频率与电导率呈反比, 而电导率与电磁力呈正比, 即不断增加的碰撞频率使得电磁力持续减小, 进而降低了密度削弱效果.

$图 13 碰撞频率对等离子体密度削弱的影响\r\nFig. 13. Effect of collision frequency on plasma density reduction$

图 13 碰撞频率对等离子体密度削弱的影响

Fig. 13. Effect of collision frequency on plasma density reduction

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展示了(175, 50, 25)处, 行波速度对等离子体密度削弱效果的影响. 其中, $V_ {\rm{TMF}}$ = 400, 600, 800, 1000 m/s分别代表不同的行波速度. 可以看出, 行波速度越大, 密度削弱效果越好. 在行波速度为400 m/s时, 等离子体密度的削弱效果为60%, 但随着行波速度的增大, 对密度削弱的作用也会减缓. 当行波速度增大至800 m/s以上时, 最大密度削弱效果仅为74%, 继续增大行波速度并不会对密度削弱产生更明显的效果.

$图 14 行波速度对等离子体密度削弱的影响\r\nFig. 14. Effect of traveling velocity on plasma density reduction$

图 14 行波速度对等离子体密度削弱的影响

Fig. 14. Effect of traveling velocity on plasma density reduction

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当TMF产生装置通入不同幅值的电流时产生的磁通密度也不同. 展示了(175, 50, 25)处, 电流对等离子体密度削弱效果的影响. $I_ {\rm{m}} =$ 50, 100, 200, 300 A分别代表不同的电流幅值. 可以看出, 电流幅值为50, 100, 200和300 A分别能够产生42%, 50%, 67% 和 74%的削弱效果, 且提高电流不会影响应有的密度削弱效果. 另外, 施加的电流越高, 密度变化曲线的波动越大. 这是因为当电流频率不变时, 增大电流幅值会造成电流的变化率增加, 导致磁通密度变化率增加, 使密度削弱曲线呈现波动降低趋势.

$图 15 电流对等离子体密度削弱的影响\r\nFig. 15. Effect of current on plasma density reduction$

图 15 电流对等离子体密度削弱的影响

Fig. 15. Effect of current on plasma density reduction

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4. TMF对RAM-C飞行试验的电磁波衰减抑制效果分析

在飞行器再入全过程中, 等离子体鞘套的密度和厚度、碰撞频率、气压都会随着海拔的改变而改变. 为了缓解飞行器再入全过程中的黑障现象, 下面将以RAM-C飞行试验再入全程中产生的等离子体鞘套为研究对象, 分析电磁波的传播特性和不同高度下TMF对电磁波衰减的抑制效果, 并对比静态外加磁场以评估利用TMF缓解飞行器再入过程中黑障问题的可行性.

根据RAM-C飞行试验中所产生的等离子体鞘套参数, 对不同时段和高度下的等离子体鞘套参数进行分类, 可以归纳为表1^[22,29].

表 1 RAM-C飞行试验中不同高度下的等离子体鞘套参数

Table 1. Plasma sheath parameters at different altitudes in the RAM-C flight test

再入过程	海拔/km	气压/Pa	等离子体密度/ ${\mathrm{m}}^{-3}$	碰撞频率/GHz	等离子体鞘套厚度/cm
阶段1	76.2	2	$4.02\times 10^{16}$	0.005	14.0
阶段1	71.02	17	$1\times 10^{17}$	0.012	11.2
阶段2	61.57	25	$4.037\times 10^{17}$	0.050	7.8
	53.34	55	$6.86\times 10^{17}$	0.175	7.0
	47.55	288	$1.02\times 10^{18}$	0.420	5.8
阶段3	30.48	1197	$1\times 10^{19}$	5.710	6.8
阶段4	25.01	2094	$5\times 10^{18}$	13.18	5.4
阶段4	21.34	4085	$5.03\times 10^{16}$	23.00	5.3

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表1中密度为该高度时等离子体鞘套密度的最高值. 根据海拔和等离子体鞘套密度的关系, 可将再入全过程分为4阶段: 阶段1 (76.2—71.02 km), 阶段2 (61.57—47.55 km), 阶段3 (30.48 km)和阶段4 (25.01—21.34 km).

假设非均匀等离子体鞘套被分为n层, 每层的宽度为 $l_i$ , 第0层和第 $n+1$ 层为自由空间层, 那么第n层的电磁波电场和磁场可以表示为^{[14,28,30,31]}

$\begin{split} &{\boldsymbol{E}}_{n{\mathrm{i}}} = {\boldsymbol{e}}_x\left[{\boldsymbol{E}}_{n{\mathrm{i}}} {\rm{e}}^{-{\mathrm{j}}k_n\left(z-\sum_{n = 1}^nl_i\right)}{\boldsymbol{E}}_{n{\mathrm{r}}} {\rm{e}}^{{\mathrm{j}}k_n\left(z-\sum_{i = 1}^nl_i\right)}\right],\\ &{\boldsymbol{H}}_{n{\mathrm{i}}} = {\boldsymbol{e}}_x\frac1{\left(\mu_0\varepsilon_n\right)^{1/2}}\Big[{\boldsymbol{E}}_{n{\mathrm{i}}} {\rm{e}}^{-{\mathrm{j}}k_n\left(z-\sum_{i = 1}^nl_i\right)}\\ &\qquad-{\boldsymbol{E}}_{n{\mathrm{r}}} {\rm{e}}^{{\mathrm{j}}k_n\left(z-\sum_{i = 1}^nl_i\right)}\Big] ,\\[-1pt] \end{split}$

(28)

其中, ${\boldsymbol{E}}_{n{\mathrm{i}}}$ 和 ${\boldsymbol{H}}_{n{\mathrm{i}}}$ 表示第n层电磁波的电场强度和磁场强度, ${\boldsymbol{E}}_{n{\mathrm{r}}}$ 和 ${\boldsymbol{H}}_{n{\mathrm{r}}}$ 为第n层中反射电磁波的电场强度和磁场强度, 电磁波传播常数 $k_{n} = \omega(\mu_0\varepsilon_{n})^{1/2}$ , ${\boldsymbol{e}}_x, {\boldsymbol{e}}_y$ 表示方向向量.

由相邻两层间的边界连续性条件, 可以得到第n层与第 $n+1$ 层之间的反射系数和透射系数:

$\begin{split} & \varGamma_n = \frac{\eta_{n+1}-\eta_n}{\eta_{n+1}+\eta_n},~~~~ T_n = 1+\varGamma_n. \end{split}$

(29)

第m层和第 $m+1$ 层(m = 0, 1, ···, $n-1$ )之间的电场和磁场的关系为

$\begin{split} &{\boldsymbol{E}}_{m{\mathrm{i}}}(1+\varGamma_m)\\ =\;& {\boldsymbol{E}}_{(m+1){\mathrm{i}}}\left( {\rm{e}}^{{\mathrm{j}}k_{m+1}l_{m+1}}+\varGamma_{m+1} {\rm{e}}^{-{\mathrm{j}}k_{m+1}l_{m+1}}\right)\\ &\times\frac1{\left(\mu_0\varepsilon_m\right)^{1/2}}{\boldsymbol{E}}_{m{\mathrm{i}}}\left(1-\varGamma_m\right) \\ =\;& \frac1{\left(\mu_0\varepsilon_{m+1}\right)^{1/2}}{\boldsymbol{E}}_{(m+1){\mathrm{i}}}\big( {\rm{e}}^{{\mathrm{j}}k_{m+1}l_{m+1}}\\ &-\varGamma_{m+1} {\rm{e}}^{-{\mathrm{j}}k_{m+1}l_{m+1}}\big). \end{split}$

(30)

由(30)式中两式相除, 可以得到各层的波阻抗:

$\begin{split} Z_m & = \eta_{m+1}\frac{1+\varGamma_{m+1} {\rm{e}}^{-{\mathrm{j}}2k_{m+1}l_{m+1}}}{1-\varGamma_{m+1} {\rm{e}}^{-{\mathrm{j}}2k_{m+1}l_{m+1}}}, \\ \varGamma_m & = \frac{Z_m-\eta_m}{Z_m+\eta_m}, \\ T_m & = \frac{(1+\varGamma_m) {\rm{e}}^{-{\mathrm{j}}k_{m+1}l_{m+1}}}{1+\varGamma_{m+1} {\rm{e}}^{-{\mathrm{j}}2k_{m+1}l_{m+1}}}. \end{split}$

(31)

所以, 电磁波的反射系数和透射系数可以表示为

$\begin{split} \varGamma& = \varGamma_0, ~~~~ T = \prod_{m = 0}^nT_m. \end{split}$

(32)

电磁波的衰减值可以用下面的公式计算: $S = 20\mathrm{log}_{10} | T|$ , 单位为dB. 利用(28)—(32)式可以得到电磁波的衰减值. 下面分别计算并分析施加TMF后4个阶段的L波段(1.575 GHz), S波段(3.0 GHz), C波段(5.8 GHz)和X波段(10 GHz)透射等离子体鞘套的衰减.

4.1 阶段1 (76.2—71.02 km)

阶段1的主要特点为碰撞频率和等离子体密度相对较低, 但是等离子体鞘套较厚, 达到10 cm以上. 为了研究最严苛情况下施加TMF对电磁波衰减的抑制效果, 设置等离子体密度为最大值 $1\times10^{17} \;{\rm{m}}^{-3}$ , 等离子体鞘套厚度为14 cm, 气压为17 Pa, 碰撞频率为0.012 GHz.

图16展示了在上述条件下, 施加TMF对电磁波衰减的影响. 从图16(a)能够看出, 在不施加TMF时, L波段的衰减量为37.5 dB, 而S波段、C波段和X波段的衰减量均小于5 dB. 当施加TMF后, 50 A的电流输入即可使电磁波的衰减量降低到5 dB以下, 并且随着电流的增大, 电磁波衰减进一步减小. 同样地, 从图16(b)能够看出, 施加500 m/s的行波速度就能使L, S, C和X波段的电磁波衰减降低到5 dB以下. 这表明, 在低密度、低碰撞频率的条件下, 即使该阶段的等离子体鞘套厚度达到14 cm, TMF也能展现出较好的削弱效果.

$图 16 阶段1施加TMF对电磁波衰减的影响　(a)电流对电磁波衰减的影响; (b)行波速度对电磁波衰减的影响\r\nFig. 16. Effect of applying TMF on EM wave attenuation in phase 1: (a) Effect of current on the attenuation of EM waves; (b) effect of traveling velocity on the attenuation of EM waves$

图 16 阶段1施加TMF对电磁波衰减的影响　(a)电流对电磁波衰减的影响; (b)行波速度对电磁波衰减的影响

Fig. 16. Effect of applying TMF on EM wave attenuation in phase 1: (a) Effect of current on the attenuation of EM waves; (b) effect of traveling velocity on the attenuation of EM waves

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4.2 阶段2 (61.57—47.55 km)

阶段2相较于阶段1, 等离子体鞘套的密度和碰撞频率都有所增大, 但是等离子体鞘套变薄. 设置等离子体密度为最大值 $1.02\times10^{18} \;{\rm{m}}^{-3}$ , 等离子体鞘套厚度为7.8 cm, 气压为288 Pa, 碰撞频率为0.42 GHz.

图17展示了在上述条件下, 施加TMF对电磁波衰减的影响. 图17(a)能够看出, 当施加的电流大于600 A时, 4个波段的电磁波衰减都低于20 dB. 但是考虑到TMF产生装置所承载的电流上限, 本文所考虑的电流大小限制在800 A以下. 图17(b)中, 当施加的行波速度大于1000 m/s时, X波段和C波段的衰减降低到30 dB以下. 值得注意的是, 尽管行波速度已经增大到2000 m/s, 但是在电流大小仅200 A的前提下, 提高行波速度只能将L和S波段的衰减降低到50 dB左右, 这说明提高电流大小对抑制电磁波衰减的效果要优于提高行波速度.

$图 17 阶段2施加TMF对电磁波衰减的影响　(a)电流对电磁波衰减的影响; (b)行波速度对电磁波衰减的影响\r\nFig. 17. Effect of applying TMF on EM wave attenuation in phase 2: (a) Effect of current on the attenuation of EM waves; (b) effect of traveling velocity on the attenuation of EM waves$

图 17 阶段2施加TMF对电磁波衰减的影响　(a)电流对电磁波衰减的影响; (b)行波速度对电磁波衰减的影响

Fig. 17. Effect of applying TMF on EM wave attenuation in phase 2: (a) Effect of current on the attenuation of EM waves; (b) effect of traveling velocity on the attenuation of EM waves

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4.3 阶段3 (30.48 km)

相较于其他阶段, 阶段3处的等离子体鞘套密度较高, 产生的电磁波衰减达到300 dB以上, 所以该阶段的电磁波透射衰减应当单独分析. 设置该阶段仿真的等离子体密度为 $1\times10^{19} \;{\rm{m}}^{-3}$ , 等离子体鞘套厚度为6.8 cm, 气压为1197 Pa, 碰撞频率为5.71 GHz.

图18展示了当前阶段, 施加TMF对电磁波衰减的影响. 由图18(a)看出当电流为800 A时, X波段的衰减小于25 dB, 但是其余波段的衰减依然大于50 dB. 图18(b)中, 提高行波速度仅能降低约50%的衰减量, 且在行波速度大于1000 m/s后, 继续提高行波速度对抑制电磁波衰减不会产生更明显的影响, 这主要是因为继续提高行波速度难以对等离子体密度产生更明显的削弱效果. 阶段3的电磁波衰减结果表明, 即使该高度处的等离子体鞘套密度和碰撞频率较高, 产生超过300 dB的电磁波衰减, 但通过施加TMF能够使L, S, C波段的电磁波衰减降低到75 dB左右, 使X波段的电磁波衰减降低到可通信范围内.

$图 18 阶段3施加TMF对电磁波衰减的影响　(a)电流对电磁波衰减的影响; (b)行波速度对电磁波衰减的影响\r\nFig. 18. Effect of applying TMF on EM wave attenuation in phase 3: (a) Effect of current on the attenuation of EM waves; (b) effect of traveling velocity on the attenuation of EM waves$

图 18 阶段3施加TMF对电磁波衰减的影响　(a)电流对电磁波衰减的影响; (b)行波速度对电磁波衰减的影响

Fig. 18. Effect of applying TMF on EM wave attenuation in phase 3: (a) Effect of current on the attenuation of EM waves; (b) effect of traveling velocity on the attenuation of EM waves

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4.4 阶段4 (25.01—21.34 km)

阶段4的主要特征为: 等离子体的碰撞频率很大, 气压较高. 设置等离子体鞘套厚度为5.4 cm, 等离子体密度为 $5\times10^{18} \;{\rm{m}}^{-3}$ , 气压为2094 Pa, 碰撞频率为13.18 GHz.

图19展示了在阶段4施加TMF对电磁波衰减的影响. 由图19(a)看出当电流为800 A时, 施加TMF能够使4个波段的衰减降低到30 dB以下. 由图19(b)看出, 电流大小固定为200 A时, 1750 m/s以上的行波速度才能够使X波段的衰减降低到30 dB以下. 阶段4的电磁波衰减的结果表明, 与阶段2相比, 虽然等离子体密度处于同一个量级, 但阶段4的碰撞频率远大于阶段2, 严重降低了TMF对等离子体密度的削弱效果, 影响了对电磁波衰减的抑制效果.

$图 19 阶段4施加TMF对电磁波衰减的影响　(a)电流对电磁波衰减的影响; (b)行波速度对电磁波衰减的影响\r\nFig. 19. Effect of applying TMF on EM wave attenuation in phase 4: (a) Effect of current on the attenuation of EM waves; (b) effect of traveling velocity on the attenuation of EM waves$

图 19 阶段4施加TMF对电磁波衰减的影响　(a)电流对电磁波衰减的影响; (b)行波速度对电磁波衰减的影响

Fig. 19. Effect of applying TMF on EM wave attenuation in phase 4: (a) Effect of current on the attenuation of EM waves; (b) effect of traveling velocity on the attenuation of EM waves

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为了更直观地给出TMF对飞行器再入过程通信黑障的抑制效果, 图20计算了TMF作用下飞行器再入全过程的电磁波衰减, 并与现有研究的外加静态磁场法进行了对比. 其中, 设置静磁场的磁场强度为0.15 T, TMF产生装置中施加的电流为800 A, 行波速度为1000 m/s. 结果显示, TMF作用下L, S, C和X波段电磁波的衰减明显低于静磁场作用下的, 且随着电磁波频率的增大, 这种趋势更加明显. 这表明, 施加TMF对通信黑障的抑制效果明显高于外加静磁场.

$图 20 TMF与外加静磁场的效果对比　(a) L波段; (b) S波段; (b) C波段; (b) X波段\r\nFig. 20. Comparison of the effect of TMF with applied static magnetic field: (a) L-band; (b) S-band; (b) C-band; (b) X-band$

图 20 TMF与外加静磁场的效果对比　(a) L波段; (b) S波段; (b) C波段; (b) X波段

Fig. 20. Comparison of the effect of TMF with applied static magnetic field: (a) L-band; (b) S-band; (b) C-band; (b) X-band

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5. 结　论

本文提出了一种利用TMF调控等离子体鞘套密度的三维模型. 基于磁流体理论建立了三维TMF产生模型和等离子体密度分布模型, 研究了TMF作用下空间中非均匀等离子体随时间演变特性和密度的分布特性. 等离子体密度随时间演变特性的结果表明, 通信窗口处的密度削弱效果最大可达71%, 且没有通信时间限制. 等离子体密度分布的结果表明, 在TMF的作用下, 等离子体聚集在飞行器前端导致等离子体密度在飞行器表面沿X轴的分布变化剧烈, 前端和后端的密度相差超过一个数量级, 在后端形成的通信窗口有效区域可达50 mm $\times$ 100 mm. 通信窗口处的等离子体密度低于密度限制且沿Z轴分布较均匀, 这表明TMF对距离飞行器表面较高(0.1 m)的等离子体也具有较好的削弱效果.

此外, 本文以RAM-C飞行实验的数据为基础, 针对各高度存在的电磁波衰减, 研究了电流大小和行波速度对电磁波衰减的影响. 计算结果显示, 施加800 A的电流和1000 m/s的行波速度, 能够使L波段、S波段、C波段和X波段的电磁波衰减在30.48 km高度处降低到100 dB以下, 在其他高度处降低到30 dB以下. 本文还对比了TMF与外加静磁场对不同高度的电磁波衰减抑制的效果. 结果表明, TMF对电磁波衰减的抑制效果明显优于静磁场, 且电磁波频率越高, TMF对电磁波衰减的抑制效果就越好, 进一步验证了利用TMF缓解通信黑障的可行性.

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模拟结构示意图( ${\theta _1}$ 为晶粒1取向角, ${\theta _2}$ 为晶粒2取向角)

Schematic diagram of simulation structure, ${\theta _1}$ is grain 1 orientation angle, ${\theta _2}$ is grain 2 orientation angle.

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图 2 石墨烯气相结晶图(蓝、绿、黄色标记石墨烯的五角元胞、七角元胞、八角元胞)　(a)—(d)晶界角分别为4°, 6°, 8°, 10°, 其中黑框中为晶界处位错; (a1)—(a3), (b1)—(b3), (c1)—(c3), (d1)—(d3)是对应的放大图

Figure 2. Vapor crystallization diagram of graphene: (a)–(d) Grain boundary angles are 4°, 6°, 8° and 10°, respectively, dislocations at grain boundaries are shown in the black box; (a1)–(a3), (b1)–(b3), (c1)–(c3), (d1)–(d3) are the corresponding enlarged images. Blue, green, yellow labeled graphene pentagonal cells, heptagonal cells, octagonal cells

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图 3 双晶石墨烯体系中晶界处位错数目统计结果　(a) 晶界角为4°—10°的总位错数目; (b) 晶界角为4°—10°的各种位错数目

Figure 3. Statistical results of the number of dislocations at the grain boundaries in the double crystalline graphene system: (a) Total number of dislocations at grain boundary angles of 4°–10°; (b) number of various dislocations at grain boundary angles of 4°–10°.

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石墨烯晶界5|7位错在应变下的演化图　(A)—(C), (D)—(G), (H)—(I), (J)—(L)分别对应晶界角为4°, 6°, 8°, 10°的石墨烯晶界5|7位错在应变下的演化图; (a)—(c), (d)—(g), (h)—(i), (j)—(l)为对应的演化过程示意图; (A)—(C)的应变 $\varepsilon$ 分别为0, 0.0297, 0.0352; (D)—(G) 的应变 $\varepsilon$ 分别为0, 0.0286, 0.0308, 0.0352; (H), (I) 的应变 $\varepsilon$ 分别为0, 0.0363; (J)—(L) 的应变 $\varepsilon$ 分别为0, 0.0297, 0.0363 (演化过程示意图中标记的5, 7, 8, 9分别代表石墨烯五、七、八、九角元胞, 分别对应相应演化图中石墨烯蓝、绿、黄、红色标记的五、七、八、九角元胞, 图5—8中标记解释与此相同)

Evolution diagram of 5|7 dislocations at graphene grain boundaries under strain: (A)–(C), (D)–(G), (H)–(I), (J)–(L) are the evolution diagrams of 5|7 dislocations at graphene grain boundaries under strain for corresponding grain boundary angles of 4°, 6°, 8° and 10°; (a)–(c), (d)–(g), (h)–(i), (j)–(l) are the evolution process diagrams. The strains $\varepsilon$ of (A)–(C) are 0, 0.0297, 0.0352, (D)–(G) are 0, 0.0286, 0.0308, 0.0352, (H), (I) are 0, 0.0363, and (J)–(L) are 0, 0.0297, 0.0363. The 5, 7, 8, 9 marked in the evolution diagram represent the graphene pentagonal, heptagonal, octagonal, and nougonal cells respectively, corresponding to the pentagonal, heptagonal, octagonal, and nougonal cells marked in the corresponding evolution process diagram in blue, green, yellow, and red respectively. The explanations of labels in Figure 5-8 are the same as those in Figure 4.

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石墨烯晶界5|8|7位错在应变下的演化图　(A)—(D), (E)—(H), (I)—(K)分别对应晶界角为6°, 8°, 10°的石墨烯晶界5|8|7位错在应变下的演化图; (a)—(d), (e)—(h), (i)—(k)是对应的演化过程示意图; (A)—(D)的应变 $\varepsilon$ 分别为0, 0.0209, 0.0352, 0.0407, (E)—(H) 的应变 $\varepsilon$ 分别为0, 0.0209, 0.0429, 0.0473, (I)—(K) 的应变 $\varepsilon$ 分别为0, 0.0165, 0.0319

Evolution diagram of 5|8|7 dislocations at graphene grain boundaries under strain: (A)–(D), (E)–(H), (I)–(K) are the evolution diagrams of 5|8|7 dislocations at graphene grain boundaries under strain for corresponding grain boundary angles of 6°, 8° and 10°; (a)–(d), (e)–(h), (i)–(k) are the corresponding evolution process diagrams; the strains $\varepsilon$ of (A)–(D) are 0, 0.0209, 0.0352, 0.0407, (E)–(H) are 0, 0.0209, 0.0429, 0.0473, (I)–(K) are 0, 0.0165, 0.0319.

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石墨烯晶界5|8|8|7位错在应变下的演化图　(A)—(C), (D)—(G), (H)—(J)分别对应晶界角为4°, 8°, 10°的石墨烯晶界5|8|8|7位错在应变下的演化图; (a)—(c), (d)—(g), (h)—(j)是对应的演化过程示意图; (A)—(C)的应变 $\varepsilon$ 分别为0, 0.0165, 0.022, (D)—(G)的应变 $\varepsilon$ 分别为0, 0.0253, 0.0363, 0.0473, (H)—(J)的应变 $\varepsilon$ 分别为0, 0.0154, 0.0242

Evolution diagram of 5|8|8|7 dislocations at graphene grain boundaries under strain: (A)–(C), (D)–(G), (H)–(J) are the evolution diagrams of 5|8|8|7 dislocations at graphene grain boundaries under strain for corresponding grain boundary angles of 4°, 8° and 10°; (a)–(c), (d)–(g), (h)–(j) are the corresponding evolution process diagrams; the strains $\varepsilon$ of (A)–(C) are 0, 0.0165, 0.022, (D)–(G) are 0, 0.0253, 0.0363, 0.0473, (H)–(J) are 0, 0.0154, 0.0242.

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石墨烯晶界5|8|8|8|7位错在应变下的3种演化图　(A)—(C), (D)—(G), (H)—(M) 是晶界角为6°的石墨烯晶界5|8|8|8|7位错在应变下的3种演化图; (a)—(c), (d)—(g), (h)—(m)是对应的演化过程示意图; (A)—(C) 的应变 $\varepsilon$ 分别为0, 0.0132, 0.0209, (D)—(G)的应变 $\varepsilon$ 分别为0, 0.0132, 0.0242, 0.0297, (H)—(M)的应变 $\varepsilon$ 分别为0, 0.099, 0.0187, 0.0264, 0.0407, 0.0462

Three evolution diagrams of 5|8|8|8|7 dislocations at graphene grain boundaries under strain: (A)–(C), (D)–(G), (H)–(M) are three evolution diagrams of 5|8|8|8|7 dislocations at graphene grain boundaries under strain for the grain boundary angle of 6°; (a)–(c), (d)–(g), (h)–(m) are the corresponding evolution process diagrams; the strains $\varepsilon$ of (A)–(C) are 0, 0.0132, 0.0209, (D)–(G) are 0, 0.0132, 0.0242, 0.0297, (H)–(M) are 0, 0.099, 0.0187, 0.0264, 0.0407, 0.0462.

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石墨烯晶界5|8|8|8|8|8|7位错在应变下的演化图　(A)—(G)晶界角为4°的石墨烯晶界5|8|8|8|8|8|7位错在应变下的演化图; (a)—(g)是演化过程示意图; (A)—(G)的应变 $\varepsilon$ 分别为0, 0.0231, 0.0281, 0.0319, 0.0341, 0.0374, 0.0473

Evolution diagram of 5|8|8|8|8|8|7 dislocations at graphene grain boundaries under strain: (A)–(G) are the evolution diagrams of 5|8|8|8|8|8|7 dislocations at graphene grain boundaries under strain for grain boundary angles of 4°; (a)–(g) are the evolution process diagrams; the strains $\varepsilon$ of (A)–(G) are 0, 0.0231, 0.0281, 0.0319, 0.0341, 0.0374, 0.0473.

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图 9 晶界角为4°, 6°, 8°, 10°的石墨烯晶界各种位错的延伸率

Figure 9. Elongation of various dislocations of graphene grain boundaries with grain boundary angles of 4°, 6°, 8° and 10°

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图 10 变形过程中双晶石墨烯自由能-应变曲线　(a)—(d)晶界角分别为4°, 6°, 8°, 10°

Figure 10. Free energy curves of double crystalline graphene during deformation: (a)–(d) The grain boundary angles are 4°, 6°, 8°, 10°.

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表 1 施加应力应变的参数

Table 1. Parameters for applying stress and strain.

试样拉伸应变方向晶粒取向角晶界角 $\theta$ /(°)

${\theta _1}$ /(°) ${\theta _2}$ /(°)

A $y$ 2 –2 4

B $y$ 3 –3 6

C $y$ 4 –4 8

D $y$ 5 –5 10

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Vol. 73, Issue 24 - 2024-12-20

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